Тема 1. Методические основы экономико-математического

моделирования производственных систем

(лекц. – 1 час., СРС – 16 час.)

Изучив данную тему, студент должен познакомиться с основными понятиями, определениями, классификацией экономико-математических методов и моделей, применяемых в оптимальном планировании и управлении производственными системами. При изучении темы основное внимание следует уделить математическим основам решения типовых оптимизационных задач на базе детерминированных и стохастических моделей, целям, содержанию и порядку проведения экономического (постоптимизационного) анализа результатов их решения. Необходимо также познакомиться с основными положениями теории двойственности в математическом программировании, уяснить экономическую интерпретацию теорем двойственности, освоить методику применения двойственных оценок при анализе устойчивости и параметрировании оптимального решения задач математического программирования.

Экономико-математическая модель производственной системы – это формализованное (математическое) описание условий и результатов функционирования производственной системы с позиций экономики. Модель строится с помощью переменных, множеств, функций, уравнений, неравенств, логических правил. На основе построенных моделей экономико-математические методы позволяют получить данные для анализа свойств рассматриваемых производственных систем, прогнозирования их поведения при возможных изменениях производственной ситуации и выработки управленческих решений для достижения поставленных целей.

Во многих случаях экономико-математические модели производственных систем, с позиций математики, представляют собой оптимизационные задачи - задачи поиска экстремума (максимума или минимума) функции нескольких переменных при наличии условий, связывающих между собой допустимые значения переменных (задачи условной оптимизации). Для решения этих задач применяются методы математического программирования - раздела вычислительной математики, объединяющего компьютерные методы решения оптимизационных задач, интенсивное развитие которых в середине прошлого века обусловлено стремительным совершенствованием вычислительной техники.

В общем случае математическая модель задачи математического программирования имеет вид:

Найти

при условиях

где - заданные, в общем случае нелинейные функции n переменных
x1, x2, …, xn.

В экономических приложениях функцию f называют целевой функцией.
Запись {£, =, ³} означает, что может иметь место неравенство вида £, уравнение или неравенство вида ³.

Каждый набор значений переменных x1, x2, …, xn (n-мерный вектор), удовлетворяющий всем ограничениям задачи, называется ее решением или планом. Множество всех решений задачи образует область допустимых решений (ОДР). Каждому решению (плану) соответствует определенное значение целевой функции. План, которому соответствует максимальная - в задаче максимизации, минимальная - в задаче минимизации - величина f, носит название оптимального и обозначается . Решить задачу математического программирования - это значит найти ее оптимальный план и соответствующее ему значение целевой функции .

Не существует единого, универсального метода решения задач математического программирования. В зависимости от свойств целевой функции f и функций ограничений рассматривают различные классы задач математического программирования и применяют различные методы их решения.

На рис. 1 показаны разделы математического программирования, наиболее активно используемые при экономико-математическом моделировании производственных систем.

Рис. 1. Методы математического программирования

Наибольший интерес для экономических приложений представляют задачи линейного программирования, в которых целевая функция f и функции ограничений являются линейными функциями неизвестных x₁, x₂, …, x_n :

Найти мах (min) f =

при условиях

К числу базовых задач линейного программирования относятся задача планирования производства (оптимального использования ресурсов), задача раскроя материала, транспортная задача, задача оптимальной загрузки производственного оборудования (распределительная задача). Любая задача линейного программирования может быть решена универсальным симплексным методом, хотя применяются и другие методы, более эффективные для решения отдельных задач.

Широкий класс оптимизационных экономических задач представляют задачи целочисленного программирования, в которых существенным требованием является получение решения в целых числах. Для решения таких задач применяются методы ветвей и границ.

Перечисленные методы решения оптимизационных задач в том или ином виде реализованы в современных пакетах компьютерной математики. Однако, наиболее полным и удобным инструментом решения оптимизационных задач экономико-математического моделирования следует признать пакет “Поиск решения”, который является одной из надстроек электронной таблицы Excel и предназначен для решения задач линейного, выпуклого и целочисленного программирования. Пакет “Поиск решения” рассматривается как основной инструмент решения прикладных задач экономико-математического моделирования производственных систем полиграфии.

Если возможны существенные изменения производственной ситуации под воздействием случайных факторов, не контролируемых со стороны предприятия, то задача оптимального функционирования производственной системы решается в стохастической постановке. Эффективным методом решения стохастических задач является компьютерное моделирование. На основе данных компьютерного моделирования строятся эконометрические модели, используемые для анализа свойств производственных систем как объектов управления и возможных последствий принимаемых управленческих решений. Удобным инструментом построения эконометрических моделей и оценки их качества является другая надстройка электронной таблицы Excel “Анализ данных”.

При экономико-математическом моделировании объектов и процессов, для которых важна динамика изменения во времени экономических показателей, находят применение методы динамического программирования. Математический аппарат динамического программирования применяется для решения оптимизационных задач, которые формулируются как многошаговые процессы принятия оптимальных решений. Классическим примером задачи динамического программирования является поиск оптимальной политики замены оборудования. В основе методов динамического программирования лежит принцип оптимальности, реализуемый с помощью функциональных уравнений Р.Беллмана.

Среда электронной таблицы Excel с макросами на объектно-ориентированном языке программирования VBA предоставляет хорошие возможности решения задач динамического программирования для экономических приложений.

Рассматривая актуальные задачи экономико-математического моделирования производственных систем полиграфии, нельзя обойти вниманием задачу управления запасами. Для базовой модели задачи управления запасами успешно применяется классический аппарат поиска экстремума функции нескольких переменных. При использовании более сложных версий модели применяются методы математического программирования в сочетании с эконометрическими методами.

Несмотря на различия в содержании и постановке перечисленных задач экономико-математического моделирования производственных систем полиграфии можно выделить общий подход к методике их решения:

· разработка базовой модели, отражающей главные особенности функционирования производственной системы;

· модификация базовой модели с целью формирование различных версий, более полно соответствующих реальным условиям производственной ситуации;

· решение задачи в детерминированной и стохастической постановке;

· постоптимизационный анализ полученного решения, направленный на выработку рекомендаций по оптимальному управлению и повышению эффективности функционирования производственной системы.

При выполнении контрольной работы студенты заочного отделения осваивают методику решения задач экономико-математического моделирования производственных систем полиграфии на примере решения задачи планирования производства..

Вопросы для самопроверки

1. В чем заключается смысл системного подхода к анализу социально-экономических систем и процессов?

2. Сформулируйте понятие “Экономико-математическая модель производственной системы”.

3. Дайте характеристику этапов экономико-математического моделирования.

4. Укажите основные научные дисциплины и методы, входящие в состав экономико-математических методов.

5. Назовите основные классификационные признаки экономико-математических моделей и приведите примеры моделей, входящих в ту или иную классификационную рубрику.

6. В чем суть принципа оптимальности в планировании и управлении?

7. Сформулируйте общую постановку задачи математического программирования.

8. Дайте краткую характеристику задач линейного программирования и методов их решения.

9. Раскройте цели и содержание постоптимизационного анализа экономико-математической задачи.

10. Назовите области применения эконометрических моделей и методов в планировании и управлении производственными системами.

Тема 2. Задачи оптимального планирования производства

(лекц. – 2 час., лаб. – 4 час., СРС – 30 час.)

1.1. Базовая модель планирования производства и ее
модификации

Главное внимание в данной теме следует уделить задаче планирования производства (оптимального использования ресурсов), ее базовой модели и модификациям, отражающим условия работы предприятия при рыночных экономических отношениях. Изучив данную тему, студент должен освоить компьютерные методы решения задачи планирования производства и методы постоптимизационного анализа полученного решения.

Базовый вариант задачи планирования производства формулируется следующим образом. Предприятие может производить продукцию n видов, используя m видов ресурсов. Известны нормы затрат ресурсов каждого вида на производство продукции определенного вида a_ij, i=1,..., m, j=1,..., n; запасы ресурсов b_i, i=1...,m; нормы прибыли от реализации единицы продукции c_j, j=1,..., n. Требуется найти объемы производства продукции каждого вида x_j, j=1,..., n, при которых будет достигнута максимальная суммарная прибыль f при условии сбалансированности плана производства продукции по каждому виду ресурсов.

Математическая модель базового варианта задачи планирования производства имеет вид

Найти мах f =

при условиях

Если возможности сбыта продукции ограничены предельными объемами u_j, j=1,..., n, с другой стороны, установлены обязательные объемы выпуска продукции (по госзаказу) v_j, j=1,..., n, то система условий базовой модели дополняется двухсторонними ограничениями:

В условиях рыночной экономики представляет интерес задача планирования производства, в которой предполагается, что дополнительно к имеющимся запасам ресурсы могут приобретаться по ценам s_i, i=1,..., m на общую сумму Q. Математическая модель задачи имеет вид:

Найти мах f =

при условиях

Здесь z_i, i=1,..., m - объемы ресурсов каждого вида, приобретаемых для обеспечения производственного процесса. Оптимальные значения , i=1,..., m определяются в результате решения задачи наряду с оптимальным планом производства , j=1,..., n.

Если производство продукции каждого вида возможно с использованием нескольких технологических вариантов ее изготовления, то имеет место двухиндексная модель задачи планирования производства следующего вида:

Найти мах f =

при условиях

где r(j) j=1,..., n - число возможных технологических вариантов изготовления продукции j-го вида; c_jk, j=1,..., n, k=1,..., r(j) - прибыль от реализации единицы продукции j-го вида, изготовленной по k-му технологическому варианту; a_ijk, i=1,..., m, j=1,..., n, k=1,..., r(j) - норма расхода ресурса i-го вида на производство единицы продукции j-го вида при применении k-го технологического варианта; x_jk, j=1,..., n, k=1,..., r(j) - планируемый объем выпуска продукции j-го вида с использованием k-го технологического варианта.

Приведем пример математической модели двухиндексной задачи планирования производства, исходные данные для которой представлены в табл. 1. В дальнейшем эту задачу будем рассматривать как тестовую для иллюстрации методики решения и постоптимизационного анализа задачи планирования производства.

В тестовой задаче предполагается, что предприятие может производить продукцию четырех видов, используя пять видов ресурсов. Продукция 1-го и 2-го видов может производиться двумя, продукция 3-го вида одним, продукция 4-го вида тремя технологическими вариантами. На продукцию 3-го вида установлен госзаказ в объеме 55 ед. По каждому из четырех видов продукции спрос ограничен объемами, представленными в таблице. В наличии имеются запасы ресурсов 1-го, 2-го и 4-го видов. Предприятие не может приобретать ресурс 1-го вида дополнительно к имеющемуся запасу, остальные ресурсы могут приобретаться по ценам, указанным в таблице, на общую сумму 100 тыс. д.ед.

Таблица 1

Исходные данные тестовой задачи планирования производства

При разработке математической модели тестовой задачи используем следующие обозначения:

x_1,1 – планируемый объем выпуска продукции 1-го вида с использованием
1-го технологического варианта;

x_1,2 – планируемый объем выпуска продукции 1-го вида с использованием
2-го технологического варианта;

..............................................................

x_4,3 – планируемый объем выпуска продукции 4-го вида с использованием
3-го технологического варианта;

z₂ – число приобретаемых единиц ресурса 2-го вида;

..............................................................

z₅ – число приобретаемых единиц ресурса 5-го вида;

f – суммарная прибыль от реализации произведенной продукции.

Общее число неизвестных тестовой задачи равно 12: восемь объемов выпуска продукции по каждому возможному технологическому варианту и четыре объема дополнительно приобретаемых ресурсов. Число ограничений равно 11: пять из них отражают условия сбалансированности объемов выпуска продукции с имеющимися запасами ресурсов, дополненными приобретенными ресурсами, одно ограничение отражает предельные возможности приобретения дополнительных ресурсов на заданную сумму, четыре ограничения учитывают спрос на производимую продукцию, одно ограничение – необходимость выполнения госзаказа.

Математическая модель тестовой задачи записывается в виде:

при условиях

Задача планирования производства наряду с задачами раскроя материалов, загрузки производственного оборудования и рядом других задач линейного программирования относится к задачам технико-экономического планирования, для которых академик Канторович Л.В. предложил обобщенную модель, введя понятия ингредиентов и способов функционирования производственной системы.

Под ингредиентами производственной системы понимаются готовая продукция и услуги, производимые системой (накапливаемые ингредиенты), а также используемые в процессе производства материальные, трудовые, финансовые и другие ресурсы (потребляемые ингредиенты). Под способами функционирования производственной системы понимаются различные варианты использования имеющихся ресурсов для производства продукции и услуг.

В экономико-математической модели задачи технико-экономического планирования неизвестные соответствуют возможным способам функционирования производственной системы, значения неизвестных - интенсивности применения различных способов функционирования. Число основных ограничений в модели совпадает с число ингредиентов, причем накапливаемым ингредиентам соответствуют уравнения и неравенства вида ³, потребляемым ингредиентам – неравенства вида £. Таким образом, рассмотренная выше тестовая задача характеризуется двенадцатью способами функционирования, десятью потребляемыми и одним накапливаемым ингредиентами.