Полюс маневрирования и его свойства

Допустим (рис. 1), что мы имеем два корабля, уравнитель и маневрирующий, которые находились в начальный момент в точках (K₀) и (M₀) и, спустя некоторый малый промежуток времени (Dt), переместились соответственно в точки (K₁) и (M₁). По малости промежутка времени (Dt) будем считать вектора перемещений кораблей равными пройденным ими путям:

Рис.1.

Проведем через точки (K₀, K₁ и C) и точки (M₀, M₁ и C) окружности, которые, как видно из рисунка, будут иметь кроме точки (C) вторую точку пересечения (P). Назовем эту точку (P) полюсом маневрирования и покажем некоторые основные зависимости, которые связывают маневрирование кораблем с той точкой.

Эта точка обладает рядом особых свойств, заставляющих нас остановиться на них специально. Основные из этих свойств, имеющие место при любом маневрировании двух кораблей относительно друг друга, независимо от способа маневрирования, изложены в виде пяти нижеследующих теорем.[1[КВВ1] ]

Теорема 1. При маневрировании двух кораблей относительно друг друга их курсовые угла на полюс маневрирования одинаковы и равны относительному курсовому углу.

Соединим полюс (P) прямыми с точками (M₀, M₁, K₀, K₁ и С).

Угол (K₁K₀P), являющийся курсовым углом уравнителя на полюс, обозначим (j_к), а угол (M₁M₀P) - курсовой угол маневрирующего на полюс - значком (j_м).

Углы (K₁CP) и (K₁K₀P= j_к) вписаны в одну и ту же окружность (K₀K₁CP) и опираются на взаимодополняющие друг друга дуги

(ÈK₁K₀P=360 - ÈPCK₁). Отсюда следует, что:

j_к=Ð K₁K₀P = 180⁰ - Ð K ₁CP

Углы (M₁CP) и (M₁M₀P= j_к) также вписаны в одну и ту же окружность (M₀M₁CP) и также опираются на взаимодополняющие друг друга дуги (ÈM₁M₀P= 360⁰ - ÈM₁CP), откуда

j_к=Ð M₁M₀P= 180⁰ - ÐM₁CP

Но так как

Ð K ₁CP = ÐM₁CP

то и

180⁰ - Ð K ₁CP = 180⁰ - ÐM₁CP

откуда j_к = j_м

Итак, первая часть теоремы доказана. Остается доказать, что

j_к = j_м = q_p

Из треугольника (K₁PK₀) мы можем написать, что

Нетрудно заметить, что

Ð K₁P K₀ = Ð K ₁C K₀ = q

и, следовательно,

Рассматривая (PK₀) как начальное расстояние от уравнителя до полюса, а (PK₁) как конечное расстояние между ними, и обозначив эти расстояния соответственно значками (r_k0) и (r_k1), а изменение расстояния от уравнителя до полюса за промежуток времени (Dt) значком (D r _k), мы можем написать, что

PK₁ - PK₀ = r_k1 - r_k0 = D r _k

D r _k = -S_K× Сos j_к

откуда

Разделив выражение (1.2) на выражение (1.3) и заменив в первом из них (PK₁) через (r_k1), получаем:

Однако (q) есть не что иное, как изменение пеленга между кораблями за промежуток времени (Dt) и на основании теоремы синусов из треугольника позиций М₀К₀М₁ можно написать:

Обратимся к треугольникам (K₀PM₀) и (K₁PM₁). У этих треугольников: K₀M₀P=K₁M₁P, как вписанные в одну и ту же окружность (M₀M₁CP) и опирающиеся на одну и ту же дугу (CP).

ÐM₀K₀P=ÐM₁K₁P, так как дополняющие их до 180 ⁰ углы (CK₀P) и (CK₁P) равны, как вписанные в одну и ту же окружность (K₀K₁CP) и опирающиеся на одну и ту же дугу (CP).

На основании этого заключаем, что треугольники (K₀PM₀) и (K₁PM₁) подобны, и следовательно,

Напишем следующую производную пропорцию:

Но (D₁-D₀) есть не что иное, как изменение дистанции между кораблями (DD), а () есть изменение расстояния от уравнителя до полюса (Dr_К), и, следовательно,

Подставив выражения (1.4) и (1.6) в выражение (1.3) и принимая ,(при Dt ®0) получаем:

откуда

j_к = q_р

Однако, ранее было доказано, что

j_к = j_м

j_к = j_м = q_p

Таким образом, теорема доказана полностью.

Теорема 2. При маневрировании двух кораблей относительно друг друга расстояния от них до полюса маневрирования пропорциональны их скоростям хода и изменяются с течением времени пропорционально изменению дистанции между маневрирующими кораблями.

Обозначим начальное и конечное расстояние от маневрирующего до полюса соответственно значками () и ().

= M₀P

и

= M₁P

Рассмотрим треугольники (K₀PK₁) и (M₀PM₁) Их углы

ÐK₀PK₁ = ÐM₀PM₁ = q

и

ÐK₁K₀P = j_К = ÐM₀PM₁ = j_М

Следовательно, треугольники (K₀PK₁) и (M₀PM₁) подобны, и мы можем написать, что

или

Считая, что за малый промежуток времени (Dt) пути кораблей относятся как их скорости хода, получаем окончательно:

т.е. расстояния от кораблей до полюса маневрирования пропорциональны их скоростям хода.

На основании ранее доказанного (см. теорему 1) подобия треугольников (K₀PM₀) и (K₁PM₁) мы можем написать, что

или, применяя введенные обозначения,

откуда можем написать следующие производные пропорции:

или

Из последнего выражения следует, что с течением времени расстояния от кораблей до полюса маневрирования изменяются пропорционально изменению дистанции между кораблями, и таким образом теорема доказана полностью.

Теорема 3. При маневрировании двух кораблей относительно друг друга расстояние от каждого из кораблей до полюса равно дистанции между кораблями, умноженной на отношение скорости хода данного корабля к относительной скорости.

Построим при точке (М₀) путевой треугольник (M₁¢M₀ M₁) и соединим точку (M₁¢) с (K₀).

Треугольник (M₁¢M₀ K₀) является треугольником позиций (Рис.1) и в нем ÐM₁¢M₀ K₀ = q_ρ - относительному курсовому углу, а ÐM₁¢ K₀M₀ = q - изменению пеленга за промежуток времени (Dt).

Отсюда заключаем, что

D M₀M₁¢K₀ » D M₀M₁P» D K₀ K₁P

Из подобия этих треугольников мы можем написать, что

и

или, применяя ранее введенные обозначения,

и

Считая, что за малый промежуток времени (Dt) пути кораблей относятся как их скорости и помножив в последних выражениях правые и левые части на (D₀), мы получаем окончательно:

что и требовалось доказать.

Теорема 4. При маневрировании кораблей относительно друг друга разность пеленгов с них на полюс равняется разности курсов кораблей.

Рассмотрим треугольники (D M₀M₁¢ M₁), (D M₀K₀P) и (DM₁K₁P).

На основании ранее доказанного (см. теорему 3-ю) подобия треугольников (D M₀M₁¢ K₀), (D M₀M₁P) и (D K₀K₁P) мы имеем, что:

а также можем написать, что:

Откуда легко написать следующие произвольные пропорции:

Заменив в этих выражениях (K₀K₁) равным ему отрезком (M₁M₁¢) и (K₀ M₁¢) отрезком (K₁ M₁), получаем:

и

на основании чего заключаем, что треугольники (M₀K₀P), (M₁K₁P) и (M₀M₁¢M₁) подобны.

Тогда

Ð K₀PM₀ =Ð K₁PM₁ = Ð M₁¢ M₁M₀

K₀PM₀ =Ð K₁PM₁ = x,

что и требовалось доказать.

Теорема 5. При маневрировании кораблей относительно друг друга пеленг с каждого на них на полюс изменяется с течением времени одинаково с изменением взаимного пеленга между маневрирующими кораблями.

Изменение пеленга с маневрирующего на полюс изображено на рис.1 углом (M₀PM₁) а изменение пеленга с уравнителя углом (K₀P K₁).

Однако, как было сказано выше (см. теорему 2),

Ð M₀PM₁ = ÐM₀CM₁ = q,

так как они вписаны в одну и ту же окружность (M₀M₁CP) и опираются на одну и ту же дугу (M₀M₁), а Ð K₀PK₁ = ÐK₀CK₁ = q, - как вписанные в одну и ту же окружность (K₀K₁CP) и опирающиеся на одну и ту же дугу (K₀K₁).

Ð M₀PM₁ =Ð K₀PK₁= q,

что и требовалось доказать.

При рассмотрении элементов треугольника позиций (M₀M₁¢K₀) было показано[КВВ2],[2]что, применяя метод относительного движения к изучению вопросов двухстороннего маневрирования, мы получаем возможность переходить от сложного случая маневрирования двух кораблей относительно друг друга - к более простому случаю маневрирования одного из них (маневрирующего) и отношении другого (уравнителя). рассматриваемого в этом случае как неподвижный. При этом, было установлено, что вектор относительного перемещения (M₀M₁¢) полностью характеризует изменения, происходящие с течением во взаимном расположении кораблей.

На основании изучения свойств полюса маневрирования, сделанного в приведенных выше пяти теоремах, мы приходим к выводу, что об изменении с течением времени во взаимном расположении двух маневрирующих относительно друг друга кораблей можно судить также и на основании того, как происходит изменение положения любого из маневрирующих кораблей относительно полюса маневрирования.

Действительно (рис. 1) треугольник (M₀M₁P) можно рассматривать как треугольник позиций (M₀M₁¢ K₀), отнесенный к точке (P), увеличенный в раз и повернутый относительно осей координат (меридиана места или начального пеленга) на угол (a_М), причем

Роль вектора относительного перемещения (M₀M₁¢) играет в этом случае вектор перемещения маневрирующего (M₀M₁).

Подобным же образом треугольник (K₀K₁P) можно рассматривать как треугольник позиций (M₀M₁¢ K₀), отнесенный к точке(P), увеличенный в раз и повернутый относительно осей координат на угол (a_К), причем как это видно из рисунка,

Таким образом, при маневрировании двух кораблей относительно друг друга и при известных положениях и аргументах движения относительно полюса одного из них (маневрирующего или уравнителя), изменение взаимного расположения кораблей по пеленгу и расстоянию определяется вектором перемещения (абсолютного) данного корабля относительно полюса маневрирования при условии уменьшения линейного масштаба в раз, если задано движение маневрирующего, или в раз - при заданном движении уравнителя, и при условии поворота осей координат соответственно на угол

(a _М= q_r - q _М) или (a_К = q_r- q_К).

На основании этого можем написать, что

откуда при бесконечно малом (t):

Выражения (1.16) могут быть сформулированы словесно следующим образом: При маневрировании двух кораблей относительно друг друга:

1. Общий ВИР равен величине изменения расстояния от любого из кораблей до полюса, умноженной на дистанцию между кораблями и деленной на расстояние от этого корабля до полюса.

2. Общее БП равно боковому перемещению любого из кораблей относительно полюса, умноженному на дистанцию между кораблями и деленному на расстояние от этого корабля до полюса.

3. ВИП равен величине изменения пеленга с любого из кораблей на полюс.