Расчет надежности системы с резервированием замещением

1. Резервирование замещением с кратностью n /1

А. Невосстанавливаемые объекты

При резервировании замещением функции основного элемента передаются резервному только после отказа основного элемента. Поэтому вероятность отказа резерва с кратностью один к одному определяется интегралом

,

где – зависимость от времени вероятности отказа основного элемента, – вероятность отказа резервного элемента за время, оставшееся после отказа основного элемента.

Вероятность безотказной работы резерва можно определить как вероятность появления одного из двух событий: “безотказная работа основного элемента за время без подключения резервного” и “безотказная работа резервного элемента за время, оставшееся после отказа основного элемента”:

.

На основании этих формул можно составить формулы функции распределения отказов и функции надежности:

и .

Тогда плотность распределения отказов:

.

В качестве примера рассмотрим случай, когда отказы основного и резервного элементов происходят в период нормальной эксплуатации с постоянной интенсивностью λ. В этом случае

,

,

.

Тогда

В этом случае вероятность безотказной работы резерва с кратностью один к одному

.

Вероятность безотказной работы резерва можно определить по-другому:

Сделав значение времени в этих формулах переменной величиной t, получим, соответственно, функцию распределения наработки и функцию надежности резерва замещением с кратностью один к одному:

и .

Плотность распределения наработки резерва замещением с кратностью один к одному:

или

.

Интенсивность отказов резерва замещением с кратностью один к одному:

.

Средняя наработка резерва замещением с кратностью один к одному:

.

Для определения вероятности отказа объекта при резервировании замещением удобно использовать теорему свертывания теории операционного исчисления: если и суть изображения функций и , то есть изображение функции .

Рассмотрим интеграл . В соответствии с теоремой свертывания, для его решения необходимо определить изображения функций и , а затем найти оригинал от произведения этих изображений.

В случае, когда , , получим: , . В этом случае

.

Так как

,

то

.

Оригинал этого изображения

.

Этот подход удобно использовать при определении показателей надежности резерва замещением высших кратностей.

А. Невосстанавливаемые объекты

Это случай, когда, например, узел продублирован, и первый отказ не учитывается. Узел меняется после двух отказов. То есть, в потоке отказов учитывается каждый второй отказ. При постоянстве параметра потока отказов поток отказов превращается в поток Эрланга второго порядка.

Будем считать, что отказ объекта (резерва) учитывается через каждые n отказов элементов (кратность резервирования n /1).

Предположим, что имеет место пуассоновский закон отказов.

Функция надежности объекта в таком случае определяется вероятностью появления не больше n отказов:

,

функция распределения наработки на отказ

,

плотность распределения

Математическое ожидание наработки на отказ

,

дисперсия

Функция надежности объекта в случае резервирования замещением с кратностью 1/1:

,

функция распределения наработки на отказ

,

плотность распределения

Математическое ожидание наработки на отказ

,

дисперсия

2. Скользящее резервирование