Примеры решения задач. Предлагается несколько простых примеров решения задач

Предлагается несколько простых примеров решения задач. Следует помнить, что частота, интенсивность от­казов и параметр потока отказов, вычисленные по фор­мулам (14.35), (14.6) и (14.13), являются постоянными в диа­пазоне интервала времени ∆t, а функции , ), —ступенчатыми кривыми или гистограммами. Для удобства изложения в дальнейшем при решении задач на определение частоты, интенсивности и параметра потока отказов по статистическим данным об отказах изделий ответы относятся к середине интервала ∆t. При этом ре­зультаты вычислений графически представляются не в виде гистограмм, а в виде точек, отнесенных к середи­не интервалов ∆t_i и соединенных плавной кривой.

Пример.1

Допустим, что на испытание поставлено 1000 однотипных электронных ламп. За 3000 ч отказало 80 ламп, требуется определить вероятность безотказной работы P(t) и вероятность отказа Q(t) в течение 3000 ч.

Дано:   N = 1000 шт ∆t = 3000 ч n = 80 шт	Решение:   P(t) = ; P(t) = = 0,92; Q (3000) = 1 – P (3000) = 0,08 или Q (3000) = = = 0,08
Найти: P(t), Q(t)

Пример 2

Допустим, что на испытание поставлено 1000 однотипных электронных ламп. За первые 3000 ч отказало 80 ламп, а за интервал времени 3000-4000 ч отказало еще 50 ламп. Требуется определить частоту f(∆t) и интенсивность λ(∆t) отказов электронных ламп в промежутке времени ∆t = 3000 … 4000 ч.

Дано:   N = 1000 шт. ∆t1 = 3000 ч n1 = 80 шт. ∆t2 = [3000,4000] n2 = 50 шт.	Решение:   f(∆t2) = f(∆t2) = = 5•10-5 ч-1; λ(∆t2) = ;   Nср = ;   Nраб1 = 1000 – 80 = 920 шт;   Nраб2 = 1000 – 130 = 870 шт   Nср = = 895; λ(∆t2) = = 5,58 •10-5 ч-1;
Найти: a(∆t2), λ(∆t2)

Пример 3

На испытание поставлено N ₀ =400 изделий. За время t= 3000 ч отказало n(t) =200 изделий, за интервал ∆t = 100 ч отказало n(∆t)= 100 изделий. Требуется определить вероятность безотказной работы за 3000 ч, вероятность безотказной работы за 3100 ч, вероятность безотказной работы за 3050 ч, частоту отказов f (3050), интенсивность отказа λ (3050).

Временной график

]

Дано: N = 400 шт. t = 3000 ч n = 200 шт. ∆t = 100 ч n(∆t) = 100 шт.   Найти:   Р (3000), Р (3050), Р (3100), f (3050), λ (3050).

Решение: Вероятность безотказной работы будем искать по формуле: P(t) = ; Р (3100) = = 0,25; Для t =3000 ч (начало интервала) Р (3000) = = = 0,5; Для t =3100 ч (конец интервала) Р (3100) = = = 0,25; Среднее время исправно работающих изделий в интервале ∆t: . Число отказавших за время t= 3050 ч n (3050) = N 0 - N ср= 400 – 150 =250, тогда Р (3050) = = 0,375; Определяется частота отказа: f (3050) = ; f (3050) = = 0,0025 = 2,5٠10 -2; ч -1. Так же определяется частота отказов за интервалы 3000 ч и 3100 ч, причем началом интервалов является t = 0. f (3000) = = 0,000167 = 1,67٠10 -4 ч -1; f (3100) = = 0,00024 = 2,4٠10 -4 ч -1. Определяется интенсивность отказов: а) в интервале ∆t =3050 ч λ (3050) = ; λ (3050) = = 0,0067 ч -1; б) в интервале ∆t =3000 ч Nср (3000) = 400 – 100 = 300 шт; λ (3000) = = 0,000222 =2,22٠10 -4 ч -1; в) в интервале ∆t =3100 ч Nср (3100) = 400 – 150 = 250 шт; λ (3100) = = 0,00039 ч -1.

Пример 5

В течение некоторого периода времени производилось наблюдение за работой одного объекта. За весь периодов зарегистрировано n= 15 отказов. До начала наблюдений объект проработал 258 ч, к концу наблюдения наработка составила 1233 ч. Определить среднюю наработку на отказ t _ср.

Дано:   n = 15 t1 = 258 ч t2 = 1233 ч	Решение: Наработка за указанный период составила ∆t = t1 – t2 = 1233 – 258 = 975 ч; Наработка на отказ по статистическим данным определяется по формуле: t ср = / n, где t i - время исправной работы между (i -1) и i отказами, n – число отказов за некоторое время t. Приняв = 975 ч, можно определить среднюю наработку на отказ t ср = = 65 ч.
Найти: t ср

Пример 6

Производилось наблюдение за работой трех однотипных объектов. За период наблюдения было зафиксировано по первому объекту 6 отказов, по второму - 11 отказов, третьему - 8 отказов. Наработка первого объекта t₁ = 6 181 ч, второго

t₂ = 329 ч, третьего t₃ = 245 ч. Определить наработку объектов на отказ.

Дано: N = 3 n1 = 6 n2 = 11 n3 = 8 t1 = 181 ч t2 = 329 ч t3 = 245 ч	Решение: 1 вариант решени:. t ср= / ni; t ср =; t ср = = 30,2 ч 2 вариант решения: t ср 1 = , t ср 2 = , t ср 3 = ; t ср 1 = , t ср 2 = , t ср 3 = ; t ср 1 = = 30,2 ч; t ср 2 = = 29,9 ч; t ср 3 = = 3,6 ч; t ср= (30,2 + 29,9 + 30,6)/3 = 30,2 ч.
Найти: t ср

Как видно, у задачи есть два способа решения. Первый основан на использовании общей формулы вычисления средней наработки. Во втором варианте решения применяется более детальный способ. Сначала находится средняя наработка для каждого элемента, а среднее значение этих чисел и есть то, что определяется.

Пример 7

Система состоит из 5 приборов, причем отказ любого одного из них ведет к отказу системы. Известно, что первый отказал 34 раза в течение 952 ч работы, второй – 24 раза в течение 960 ч работы, а остальные приборы в течение 210 ч работы отказала 4, 6 и 5 раз соответственно. Требуется определить наработку на отказ системы в целом, если справедлив экспоненциальный закон надежности для каждого из пяти приборов.

Дано: N = 5 n1 = 34 n2 = 24 n3 = 4 n4 = 6 n5 = 5 t1 = 952 ч t2 = 960 ч t3-5 = 210 ч

Решение: Используются следующие соотношения: λс = ; tcp = ; Определяется интенсивность отказов для каждого прибора (N = 1): λi = , где Nср- среднее число исправно работающих изделий в интервале ∆ t. λ1 = = 0,04 ч -1; λ2 = = 0,025 ч -1; λ3 = = 0,02 ч -1; λ4 = = 0,03 ч -1; λ5 = = 0,02 ч -1; или = = 0,07 ч -1; тогда интенсивность отказов системы будет λс = = λ1 + λ2 + λ3-5 = 0,04 + 0,025 + 0,07 = 0,135 ч -1; Средняя наработка на отказ системы равна tcp = = = 7,41 ч.

Найти: t ср

Пример 8

За наблюдаемый период эксплуатации в аппаратуре было зафиксировано 8 отказов. Время восстановления составило: t₁ = 12 мин, t₂ = 23 мин, t₃ = 15 мин, t₄ = 9 мин,

t₅ = 17 мин, t₆ = 28 мин, t₇ = 25 мин, t₈ = 31 мин.

Требуется определить среднее время восстановления аппаратуры.

Дано: n = 8 отказов t1 = 12 мин t2 = 23 мин t3 = 15 мин t4 = 9 мин t5 = 17 мин t6 = 28 мин t7 = 25 мин t8 = 31 мин	Решение: tср в = ; tср в = = 20 мин.
Найти: tср в

Пример 9

Аппаратура имела среднюю наработку на отказ t_cp = 65 ч и среднее время восстановления t_в = 1,25 ч. Требуется определить коэффициент готовности К_г.

Дано: tcp = 65 ч tв = 1,25 ч	Решение: Кг = ; Кг = = 0,98.
Найти: Кг

Пример 10

Пусть время работы элемента до отказа подчинено экспоненциальному закону λ = 2,5 ٠10^-5 ч ^-1. Требуется определить вероятность безотказной работы P(t), частоту отказов f(t) и среднюю наработку на отказ t_ср, если t = 500, 1000, 2000 ч.

Дано: λ = 2,5 ٠10 -5 ч -1 t1 = 500 ч t2 = 1000 ч t3 = 2000 ч	Решение: Р(t) = e-λt; Р(t1) = e-2.5٠0.00001•500 = 0,98; Р(t2) = e-2.5٠0.00001•1000 = 0,97; Р(t3) = e-2.5٠0.00001•2000 = 0,95; f(t) = λ ٠ P(t); f(t1) = 2,5٠10-5٠0.98 = 2.45٠10-5 ч -1; f(t2) = λ ٠ P(t2) = 2,5٠10-5٠0.97 = 2.425٠10-5 ч -1; f(t3) = λ ٠ P(t3) = 2,5٠10-5٠0.95 = 2.375٠10-5 ч -1; tср = ; tср = = 4٠10 4 ч.
Найти: P(t), f(t), tср

Пример 11

Время работы изделия до отказа подчиняется закону Рэлея. Требуется определить количественные характеристики: P(t), f(t), λ(t), t_ср, при t₁ = 500 ч, t₂ = 1000 ч, t₃ = 2000 ч. Если параметр распределения σ = 1000 ч.

Дано: t1 = 500 ч t2 = 1000 ч t3 = 2000 ч σ = 1000 ч	Решение: f(t) = ; f (500) = = 4٠10-4 ч -1; f (1000) = = 6,1٠10-4 ч -1; f (2000) = = 2,7٠10-4 ч -1; Р(t) = = ; Р (500) = = 0,88; Р (1000) = = 0,61; Р (2000) = = 0,14 λ(t) = ; λ (500) = = 4,5•10-4 ч -1; λ (1000) = = 10٠10-4 ч -1; λ (2000) = = 19,3٠10-4 ч -1; tср = ; tср (500) = = 2,2٠103 ч; tср (1000) = = 103 ч; tср (2000) = = 0,05٠103 ч.
Найти: P(t), f(t), λ(t), tср,

Пример 12.

Время безотказной работы гироскопического устройства с шарикоподшипниками в осях ротора гироскопа подчиняется закону Вейбулла - Гнеденко с параметрами k = 1,5, λ_о = 10^-4 ч ^-1, а время его работы t = 100 ч. Требуется вычислить количественные характеристики надежности такого устройства.

Решение.

k = 1,5 Используются формулы закона Вейбулла - Гнеденко для

λ_о = 10^-4 ч ^-1. определения количественных характеристик:

t = 100 ч. Определяется вероятность безотказной работы:

Р(t) = .

Р (100) =

Найти: Р(t), f(t) Частота отказов определяется по формуле:

λ(t), t_ср f(t) =

Тогда

f( 100) = ч ^-1

Интенсивность отказов определяется по формуле:

λ(t) = .

λ (100) = ч ^-1

Вычисляется средняя наработка до первого отказа:

t_ср =

Сначала вычисляют значение гамма-функции, воспользовавшись справочными данными ([54], таблица П.7.18). В данном случае х = (1/ k)+1 = (1/1,5)+1 = 1,67.

Значения гамма-функции

Полученные данные подставляются в формулу [54]:

t_ср = ч

Пример 13.

Известно, что интенсивность отказов λ = 0,02 ч ^-1, а среднее время восстановления t_В = 10 ч. Требуется вычислить коэффициент готовности изделия.

Решение.

t_В = 10 ч. Коэффициент готовности изделия определяется по

λ = 0,02 ч ^-1. формуле:

К_Г =

Найти: К_Г Средняя наработка до первого отказа равна:

,

Тогда:

К_Г =

К_Г =

Пример 14.

Система состоит из 12600 элементов, средняя интенсивность отказов которых λ _ср = 0,32٠10^-6 ч ^-1.

Необходимо определить вероятность безотказной работы в течение t = 50 ч.

Решение.

N = 12600 Интенсивность отказов системы определим по фор-

λ _{с р} = 0,32*10^-6 ч ^-1. муле:

t = 50 ч. λ _с = λ _ср N =0,32٠10^-6٠12600=4,032٠10^-3 ч ^-1

Вероятность безотказной работы по экспоненциальному

Найти: P(t) закону равна:

P (50) = е ^-λ_с^t =

Пример 15.

Система состоит из N = 5 блоков. Надежность блоков характеризуется вероятностью безотказной работы в течение времени t, которая равна: p₁(t) = 0,98; p₂(t) = 0,99; p₃(t) = 0,97; p₄(t) = 0,985; p₅(t) = 0,975.

Требуется определить вероятность безотказной работы системы.

Решение.

N = 5 Воспользуемся формулой для определения безотказной ра-

p₁(t) = 0,98 боты системы:

p₂(t) = 0,99

p₃(t) = 0,97 Данные вероятности близки к единице, поэтому вычислить

p₄(t) = 0,985 Р_с(t) удобно, использовав приближенную формулу.

p₅(t) = 0,975 В нашем случае q₁ =0,02; q₂ =0,01; q₃ =0,03; q₄ =0,015;

q₅ =0,025. Тогда:

Найти: Р_с(t)

Пример 16

Система состоит из трех устройств. Интенсивность отказов электронного устройства равна λ₁ = 0,16٠10^-3 ч ^-1 = const. Интенсивности отказов двух электромеханических устройств линейно зависят от времени и определяются следующими формулами: λ₂ = 0,23٠10^-4 t ч ^-1, λ₃ = 0,06٠10^-6 t ^2,6 ч ^-1.

Нужно рассчитать вероятность безотказной работы изделия в течение 100 ч.

Дано: N = 3 λ1 = 0,16٠10-3 ч -1 λ2 = 0,23٠10-4 t ч -1 λ3 = 0,06٠10-6 t2,6 ч -1 t = 100 ч	Решение: На основании экспоненциального закона имеем Р (t) = ; Так как λ ≠ const, то на основании формулы Рс (t) = exp ( имеем Рс (t) = exp {-[ (t)dt + (t)dt + (t)dt]} = exp [ - ( dt + (t)dt + (t)dt)]; Рс (100) = exp [ - (0,16٠10-3 ٠100 + 0,23٠10-4 ٠ + 0,06٠10-6 ٠ )] ≈ 0,33.
Найти: Р(t)

Пример 17

Система состоит из трех блоков, средняя наработка до первого отказа которых равна Т₁ =160 ч, Т₂ = 320 ч, Т₃ = 600 ч. Для блоков справедлив экспоненциальный закон надежности. Требуется определить среднюю наработку до первого отказа системы.

Решение. Согласно экспоненциальному закону

N = 3 Интенсивность отказов системы:

Т₁ =160 ч Средняя наработка до первого отказа системы:

Т₂ = 320 ч Значит:

Т₃ = 600 ч

Найти: t_{ср с}

Пример 18

Система состоит из двух устройств. Вероятности безотказной работы каждого из них в течение времени t = 100 ч равны: р₁ (100) = 0,95; р₂ (100) = 0,97. Справедлив экспоненциальный закон надежности. Необходимо найти среднюю наработку до первого отказа системы t_{ср с}.

Дано: N = 2 t = 100 ч р1 (100) = 0,95 р2 (100) = 0,97	Решение: Определяется вероятность безотказной работы изделия: Рс (100) = = р1 (100) р2 (100) = 0,95٠ 0,97 = 0,92; Определяется интенсивность отказов изделия, воспользовавшись формулой Рс (100) = = ; 0,92= ; λс ٠100 ≈ 0,083 ч -1, тогда tср с = = 1200 ч
Найти: tср с

Пример 19

Вероятность безотказной работы одного элемента в течение времени t равна p(t) = 0,9997. Требуется определить вероятность безотказной работы системы, состоящей из N = 100 таких же элементов.

Решение.

1 вариант решения:

p(t) = 0,9997 Если у всех элементов системы одинаковая надежность, то

N = 100 P_c(t) = p^N(t) = (0,9997)¹⁰⁰ = 0,9704.

2 вариант решения:

P_c -? Так как вероятность P_c(t) близка к единице, то можно

воспользоваться следующей формулой: P_c(t) = 1- Q_c(t). Для одного элемента системы: q(t) = 1- p(t) = 1-0,9997 = 0,0003; то есть Q_c(t) = N ٠ q(t) =100٠0,0003 = 0,03. Значит P_c(t) = 1-0,03 = 0,97.

Получается, что первый вариант решения более точен.

Пример 20

Вероятность безотказной работы системы в течении времени t равна Р_с(t) = 0.95. система состоит из N = 120 равнонадежных элементов. Требуется определить вероятность безотказной работы элемента р_i(t).

Дано: Рс(t) = 0.95 N = 120	Решение: Очевидно, что вероятность безотказной работы элемента будет рi (t) = . Так как р (t) близка к единице, то вычисления р (t) удобно выполнять по формуле qс = 1 - рi(t) = 1 – 0,95 = 0,05. Тогда рi(t) = = 1 - = 1 – = 0.9996.
Найти: рi(t)

Пример 21.В системе N_с = 2500 элементов и вероятность безотказной работы ее в течение одного часа Р_с(1) = 98 %. Предполагается, что все элементы равнонадежны и интенсивность отказов элементов λ = 8,4٠10^-6 ч ^-1. Требуется определить среднюю наработку до первого отказа системы t _{ср с}.

Решение.

N_с = 2500 Интенсивность отказов системы определим по формуле:

Р_с(1) = 98 % λ_с = N ٠ λ = 8,4٠10^-6٠2500 = 0,021 ч ^-1,

λ = 8,4٠10^-6 ч ^-1 средняя наработка до первого отказа системы равна:

t_{ср с} = 1/ λ_с = 1/0,021 = 47,6 ч.

Найти: t_{ср с}

Пример 22.

Система состоит из пяти приборов, вероятности исправной работы которых в течение времени t = 100 часов равны: p₁ (100) = 0,9996; p₂ (100) = 0,9998; p₃ (100) = 0,9996; p₄ (100) = 0,999; p₅ (100) = 0,9998. Требуется определить частоту отказов системы в момент времени t = 100 часов.

Предполагается, что отказы приборов независимы и для них справедлив экспоненциальный закон надежности.

Решение.

t = 100 ч По условиям задачи отказы приборов независимы,

p₁ (100) = 0,9996 поэтому вероятность безотказной работы системы равна

p₂ (100) = 0,9998 произведению вероятностей безотказной работы прибо-

p₃ (100) = 0,9996 ров. Тогда по формуле для высоконадежных систем име-

p₄ (100) = 0,999 ем: p₁(t) p₂(t) p₃(t)… p_N(t)

p₅( 100) = 0,9998 P_c (100) 1- Q_i (100) = 1-(0,004+0,0002+0,0004+

+0,001+0,0002) = 0,9978.

Найти: f_с

Так как вероятность безотказной работы системы близка к единице, то в соответствии с формулой

интенсивность отказов можно вычислить следующим образом:

ч ^-1,

тогда частоту отказов определим в соответствии с формулой:

а_с(t) λ_с(1- λ_сt) = 2,2٠10^-5(1-2,2٠10^-5٠100) = 2,195٠10^-5 ч ^-1.

Пример 23

Изделие состоит из 1 маломощного низкочастотного германиевого транзистора, 4 плоскостных кремниевых выпрямителей, 1 керамического конденсатора, 1 резистора типа МЛТ, 10 силовых трансформаторов, 3 накальных трансформаторов, 1 дросселя и 9 катушек индуктивности. Необходимо найти вероятность безотказной работы изделия в течение t =200 часов и среднюю наработку до первого отказа.

Решение.

N₁ =1,

N₂ =4

N₃ =1

N₄ =1

N₅ =10

N₆ =3

N₇ =1

N₈ =9

t =200 ч

Найти: Р_с (200), t_{ср с}

Для решения данной задачи составляется и заполняется таблица 14.1, после вычисления величин интенсивности отказов изделия.

интенсивность отакзов элементов

Таблица 14.1

ч ^-1

По данным таблицы и по формуле для экспоненциального закона находим вероятность безотказной работы изделия в течение t = 200 ч и среднюю наработку до первого отказа: