Теорема

Рассмотрим квадратную матрицу А, .

Если det A , то существует обратная матрица , причём может быть найдена следующим образом:

где - это матрица, состоящая из алгебраических дополнений, к элементам матрицы А.

Здесь мы должны вычислить определителей (n-1)-го порядка.

Замечание. Есть и другие способы нахождения обратной матрицы, помимо приведённой формулы. Но всегда, задача обращения матрицы высокого порядка- это трудоёмкая задача.

Замечание: Для обратной матрицы А существует только одна обратная. Действительно, если бы их было две: и ,то

Примеры:

1) det A=2,

2) det A=

Пример: Решить матричное уравнение АХ = В, где

3 5 -3 7

А = 1 2; В = 0 2; Х – неизвестная матрица 2х2.

2 -5

Решение: Заметим, что det = 1 = 0, поэтому существует = -1 3.

Умножим равенство АХ = В слева на

АХ = В ó (AX) = B ó

( A)X = B ó

I X = B ó

X = B

2 -5 -3 7 -6 4

X = -1 3 0 2 = 3 -1.

Пример: Решить матричное уравнение ХА = В, где

2 1 -3

А = 1 1 1; В = (6 4 -3); Х – неизвестная строка 1х3.

3 2 -1

Решение: Используем обратную матрицу.

1 1 1 1 1 1

det A = 2 2 -1 - 3 -1 - 3 3 2 = 2(- 3) – (- 4) – 3(- 1) =

1 1 1 -3 1 -3

A11 = 2 -1 = - 3 A21 = - 2 -1 = - 5 A31 = 1 1 = 4

1 1 2 -3 2 -3

A12 = - 3 -1 = 4 A22 = 3 -1 = 7 A32 = - 1 1 = - 5

1 1 2 1 2 1

A13 = 3 2 = - 1 A23 = - 3 2 = - 1 A33 = 1 1 = 1

-3 -5 4

= 4 7 -5

-1 -1 1

XA = B ó (XA) = B ó X(A ) = B ó XI = B ó

X = B

-3 -5 4

X = (6 4 -3) 4 7 -5 = (1 1 1).

-1 -1 1