Полезное:
Как сделать разговор полезным и приятным
Как сделать объемную звезду своими руками
Как сделать то, что делать не хочется?
Как сделать погремушку
Как сделать так чтобы женщины сами знакомились с вами
Как сделать идею коммерческой
Как сделать хорошую растяжку ног?
Как сделать наш разум здоровым?
Как сделать, чтобы люди обманывали меньше
Вопрос 4. Как сделать так, чтобы вас уважали и ценили?
Как сделать лучше себе и другим людям
Как сделать свидание интересным?
Категории:
АрхитектураАстрономияБиологияГеографияГеологияИнформатикаИскусствоИсторияКулинарияКультураМаркетингМатематикаМедицинаМенеджментОхрана трудаПравоПроизводствоПсихологияРелигияСоциологияСпортТехникаФизикаФилософияХимияЭкологияЭкономикаЭлектроника
|
Линейных уравненийТеорема: Всякая система линейных уравнений или не имеет решений, или имеет единственное решение, или имеет бесконечное число решений. Доказательство: К любой системе линейных уравнений применим метод Гаусса, т.е. расширенная матрица системы приводится к ступенчатому виду. Если ступенька матрицы содержит строку (0 0 … 0 не ноль), т.е. имеющую только один последний ненулевой элемент, то система будет иметь следствием уравнение 0х1 + … + 0хn = не ноль, которое не имеет решений, а значит и вся система не имеет решений. Если ступенчатая матрица содержит длинную ступеньку (длину > 1) и не выполнен предыдущий рассмотренный случай 1 0 1 0 0 0 0 0 то, очевидно, система будет иметь бесконечное число решений, т.к. не начальным позициям длинной ступени будут соответствовать свободные переменные (одна или несколько), которым можно придать любые значения. И, наконец, если в ступенчатой матрице все ступени, кроме последней, длины 1, а последняя длины 2, 1 Система будет очевидно иметь единственное решение. Теорема: Если в системе линейных уравнений число уравнений меньше числа неизвестных, то система не может иметь единственного решения, и возможна только одна из 2-х ситуаций: нет решений или бесконечное число решений. Доказательство: В ступенчатой форме расширенной матрицы в случае единственного решения все ступени до черты имеют длину 1, а значит число строк расширенной матрицы (т.е. число уравнений) не меньше числа столбцов до черты (т.е. числа неизвестных). Замечание: Если уравнений больше чем неизвестных, то возможны все три указанные выше ситуации. Приведем простые примеры: x + y = 2 х + y = 2 x + y = 3 - нет решений, x – y = 1 - одно решение, x + y = 1 2x + 2y = 4 x + y = 2 2x + 2y = 4 - бесконечное число решений. 3x + 3y = 6
Выясним, когда система n уравнений с n неизвестными будет иметь единственное решение. Теорема: Система n линейных уравнений с n неизвестными имеет единственное решение тогда и только тогда, когда определитель матрицы системы не равен нулю. Доказательство: Рассмотрим систему а11 х1 + … + а1n xn = b1 … an1 x1 +… + ann xn = bn Если = 0, то для решения системы можно применить метод Крамера (или обратной матрицы) и, значит, система имеет единственное решение. а11 … аn1 b1 Её расширенная матрица: А = … … an1... ann bn
Если система имеет единственное решение, то её расширенная матрица может элементарными преобразованиями быть приведена к такому ступенчатому виду: 1 0 0 … 0 b1 0 1 0 … 0 b2 А = … 0 0 … 1 bn
Часть А до черты будет единичной матрицей. Её определитель = 1. Заметим, что получен из элементарными преобразованиями строк. Нетрудно проверить, что элементарные преобразования не меняют свойства определителей быть равными или не равными нулю. Определитель = 1 = 0, а, следовательно, = 0.
|