Определители. Приступим к определению важного понятия определителя

Приступим к определению важного понятия определителя. Его роль проявится по мере дальнейшего изучения курса математики.

Замечание. Впервые понятие определителя появилось в работе великого учёного Г.Лейбница, которая была опубликована в 1684 году. В ней рассматривалось условие совместности трех уравнений с двумя неизвестными. Но систематически определители начали изучаться на полвека позже в работах Крамера и Вандермонда.

Определитель (или детерминант) – это число, связанное с квадратной матрицей А, обозначение: или det A.

1. Определители 1-го порядка для матрицы А= (1x1): det A= 2. Определитель 2-го порядка: , det A=

3. Определитель 3-го порядка: А= ,

det A=

4. Определитель 4-го порядка состоит из 4! «четыре факториал» = произведений, в каждом произведении 4 сомножителя, являющихся элементами матрицы, из которых никакие два не стоят в одной строке и одном столбце.

Половина произведений берётся со знаком «+», другая половина со знаком «-», по некоторому правилу, которое мы не будем здесь излагать.

Определитель k-того порядка также состоит из произведений, каждое из которых включает в себя k сомножителей.

Функция k! растёт очень быстро:

…

Поэтому прямое вычисление определителя высокого порядка даже с помощью вычислительной техники, очень трудоёмкая задача.

Если матрица записана в прямых чертах, то это обозначает определитель матрицы.

Пример:

Говоря о строках или столбцах определителя, имеют в виду строки или столбцы соответствующей матрицы.

Свойства определителей.

1. При перемене местами любых двух строк определитель меняет знак на противоположный.

2. При умножении всех элементов любой строки на некоторое число, определитель умножается на это число.

3. Если любую строку определителя разбить в сумму двух строк, то определитель можно представить как сумму соответствующих определителей:

4. Определитель, имеющий две одинаковые строки равен нулю. (Это свойство следует из свойства 1.).

5. Определитель, содержащий строку из нулей, равен нулю. (Это свойство следует из свойства 2.).

6. К любой строке определителя можно прибавить любую другую строку, умноженную на любое число. Определитель при этом не меняется. (Это свойство следует из свойств 2., 3., 4.).

7. Транспонирование не меняет определителя:

Ввиду свойства 7., т.к. транспонирование меняет строки со столбцами, все свойства 1.-6. выполнены и для столбцов определителя.

Указанные свойства легко проверяют для определителей 2-го порядка, но имеют место для определителей любого порядка.

Правило разложения определителя по строке (столбцу).

Это правило сводит вычисление определителя n-го порядка к вычислению нескольких определителей (n-1)-го порядка.

Дадим предварительные определения. Рассмотрим определитель n-го порядка.

Дополнительным минором (обозн. ) к элементу называется определитель, полученный из исходного вычёркиванием той строки и того столбца, в которых стоит элемент .

Например, рассмотрим определитель 3-го порядка.

Тогда

Замечание. Вообще, минором k-того порядка в матрице называется определитель, состоящий из элементов, стоящих на пересечении каких-то выбранных k строк и k столбцов. В рассмотренном выше примере состоит из элементов, стоящих на пересечении 1-ой, 3-й строки и 2-го, 3-го столбца:

Алгебраическим дополнением к элементу называется число , т.е. , если (i+j) – чётное число, и

, если (i+j) – нечётное.

Следующая схема показывает, какие знаки нужно брать пред минором, для определителей 3-го порядка:

Теорема (правило разложения определителя).

Сформируем для определителя 3-го порядка.

(по 1-ой строке)=

= (по 2-ой строке)= = (по 1-му столбцу).

Таким образом, при вычислении определителя можно элементы выбранной (любой) строки (столбца) умножить на алгебраические дополнения к этим элементам и результаты сложить.

Правило выполнено для определителя любого порядка, начиная со второго.

Замечание. Рассмотрим . Тогда

, как и должно быть.

Замечание. Правило разложения определителя по строке (столбцу) иногда принимают за определение, и дальше теорию определителей строят индуктивно, определив определители 1-го порядка, затем, используя правило, определители 2-го порядка, затем 3-го и т.д.