Эффект Доплера для упругих волн

Полученные выше уравнения для скорости распростра-нения волн (звука) в различных средах описывают слу-чай, когда источник звука и его приемник покоятся друг относительно друга и относительно среды, в которой рас-пространяется звук. При этом частота воспринимаемых приемником импульсов будет равна частоте источника . Если же приемник, или источник, или оба они движутся относительно среды, то частота , воспринимаемая при-емником, оказывается отличной от частоты источника: . Это явление называют эффектом Доплера.

Рассмотрим несколько случаев возникновения эффекта Доплера.

Случай 1. Источник движется со скоростью к не-подвижному приемнику вдоль оси X, связывающей источ-ник и приемник (рис.5.15). Источник испускает одиноч-ные импульсы с периодом T ₀.

За время, равное периоду T ₀ импульс 1, испущенный в начальный момент времени, пройдет относительно среды расстояние:

, (5.180)

где – скорость волн в среде.

Через время T ₀ источник испускает импульс 2, причем сам источник за это время смещается на расстояние в направлении приемника. Импульс 2 проходит до при-емника расстояние:

, (5.181)

т.е. нагоняет импульс 1 на расстояние . При распрос-транении волн происходит то же самое – каждое после-дующее колебание среды нагоняет предыдущее. Учиты-вая связь (5.15) между частотой и длиной волны, можно записать выражение для частоты, регистрируемой прием-ником:

, (5.182)

где – частота колебаний, испускаемых источником.

Случай 2. Источник движется со скоростью под уг-лом к приемнику (рис. 5.16)

Здесь играет роль проекция вектора скорости движе-ния источника на линию, связывающую источник и при-емник, то есть скорость относительного движения источ-ника и приемника (при условии, что приемник непод-вижен):

. (5.183)

Подставив (5.183) в (5.182), получим:

(5.184)

Случай 3. Источник неподвижен, а приемник движется со скоростью (рис. 5.17).

При этом приемник «набегает» на импульсы, испущен-ные источником со скоростью , что также приво-дит к увеличению частоты. Скорость волны относительно приёмника становится равной:

, (5.185)

и частота, принимаемая приёмником равной:

(5.186)

Получив из (5.180) выражение для , и подставив его в (5.186), получим:

(5.187)

Для записи общего выражения, позволяющего вычис-лить частоту, регистрируемую приёмником при любых от-носительных движениях источника и приёмника, проведем радиус-вектор от приёмника к источнику (рис. 5.18).

Тогда, объединяя выражения (5.184) и (5.187), полу-чаем окончательно:

, (5.188)

где – угол между векторами и ;

– угол между векторами и .