Полезное:
Как сделать разговор полезным и приятным
Как сделать объемную звезду своими руками
Как сделать то, что делать не хочется?
Как сделать погремушку
Как сделать так чтобы женщины сами знакомились с вами
Как сделать идею коммерческой
Как сделать хорошую растяжку ног?
Как сделать наш разум здоровым?
Как сделать, чтобы люди обманывали меньше
Вопрос 4. Как сделать так, чтобы вас уважали и ценили?
Как сделать лучше себе и другим людям
Как сделать свидание интересным?
Категории:
АрхитектураАстрономияБиологияГеографияГеологияИнформатикаИскусствоИсторияКулинарияКультураМаркетингМатематикаМедицинаМенеджментОхрана трудаПравоПроизводствоПсихологияРелигияСоциологияСпортТехникаФизикаФилософияХимияЭкологияЭкономикаЭлектроника
Теорема Вейерштрасса (о свойствах функции одной переменной, непрерывной на сегменте) и их обобщение на функции нескольких переменных.
|
|
Функция y=f(x) называется непрерывной в т. x=x0, если она определена в этой точке и ее значение f(x0) равно пределу функции в этой точке: 
ó "e>0 $d=d(e,x0)>0 "хÎХ:|х-х0|<dÞ|f(x)-f(x0)|<e
Теорема1 (Вейерштрасса об ограниченности).:
Функция f(x) непрерывная на отрезке [a,b] ограничена, т.е. $ k>0 |f(x)|£k, "xÎ[a,b].
(f:[a,b]®R, f(x)ÎC[a,b]Þf ограничена на [a,b], т.е. $ k>0 |f(x)|£k, "xÎ[a,b].)
Док-во: (от противного) Пусть f(x) не ограничена Þ"nÎ N $xnÎ[a,b]: |f(xn)|>n.
Получили посл-ть {xn}Î[a,b]: |f(xn)|>n.
Но {xn} огр. Þ (по Т Больцано-Вейерштрасса) {xn} содержит сходящуюся под последовательность, т.е. ${xnk}→x0Î[a,b] Þ т.к. f непр., то {f(xnk)}→f(x0), k→∞ Þ {f(xnk)} ограничена. Но это противоречит тому, что f(x) не ограничена "n. ‹
Замечание: Теорема неверна, если отрезок заменить интервалом. Так например функция f(x)=1/х непрерывна на (0,1), но не ограничена, так как 
.
Теорема2 Вейерштрасса о достижимости ф-ей точных верхней и нижней граней:
f:[a,b]®R, f(x)ÎC[a,b]Þ$x1,x2Î[a,b] такие, что f(x1)=А= 
f(x), f(x2)=а= 
f(x).
Док-во: (от противного) f огр. Þ $ A= 
f(x), a= 
f(x).
Пусть А¹ f(x) "хÎ[a,b] Þ"x[a,b] А-f(x)>0. Рассм на [a,b] вспомогательную, всюду положительную функцию F(x)=1/(A-f(x)) – непрерывна Þ (по предыд. Т)"xÎ[a,b] ф-ия ограничена
A= 
f(x) Þ "ε>0 $x`Î[a,b]: f(x`)>A-ε Þ A-f(x`)<ε Þ 1/(A-f(x`))>ε Þ неограничена
Þ противоречиеˆ
((Опр.:Пусть имеется n +1 переменная x 1, x 2,..., x n, y, которые связаны между собой так, что каждому набору числовых значений переменных x 1, x 2,..., xn соответствует единственное значение переменной y. Тогда говорят, что задана функция f от n переменных. Число y, поставленное в соответствие набору x 1, x 2,..., xn называется значением функции f в точке (x 1, x 2,..., xn), что записывается в виде формулы y = f (x 1 ,x 2,..., xn) или y =y (x 1 ,x 2,..., xn). Переменные x 1, x 2,..., xn являются аргументами этой функции, а переменная y ‑ функцией от n переменных.))
Теорема(для ф многих переменных): Если y=f(x)=f(x1,…,xn) непрерывна на замкнутом ограниченном множестве XÌRn то она 1)ограничена, т.е "xÎX $k>0:|f(x)|£k, 2)достигает на Х своих точных верхней и нижней граней, т.е. $x,hÎХ: f(x)= 
f(x), f(h)= 
f(x)
((Док-во: (ограниченность) Как в R1 По усл теор ф. Непрерывна на замкнутом ограниченном множестве. Т.е. локально ограничена -"хÎХ $ Kх>0 и dх>0: | f(t)|£Kx "tÎXÇU(x, dx) Видим, что система å={u(x,dx)} открытых интервалов {u(x,dx)} покрывает Х, по лемме о покрытиях имеется конечная å¢= {u(x(1),dx(1)),…,u(x(n),dx(n))} покрытие Х. Обозначим K=max{ 
} убеждаемся, что оно искомое ˆ))
Date: 2016-07-05; view: 440; Нарушение авторских прав