Условия независимости криволинейного интеграла второго рода от пути интегрирования. Условия потенциальности векторного поля.

Плоская область G называется односвязной, если каков бы ни был замкнутый контур L, лежащий внутри этой области, ограниченная этим контуром часть плоскости целиком принадлежит области G.

Образно говоря, односвязная область означает, что область не имеет дыр. Например, односвязными областями являются внутренность круга, многоугольника и т.д.

Теорема: Пусть ф. P(x, y) И Q(x, y) определены и непрерывны вместе со своими частными производными ¶R/¶y и ¶Q/¶x в некоторой замкнутой односвязной области G. Тогда следующие 4 условия эквивалентны, т.е. выполнение " из них влечет за собой выполнение остальных трех:

1) для " замкнутой кусочно-гладкой кривой L, расположенной в G,

2) для любых двух точек А и В области G значение интеграла не зависит от выбора пути интегрирования, целиком лежащего в G.

3) выражение представляет собой полный дифференциал некоторой функции, определенный в области G. Иными словами, существует такая функция F(x,y) определенная в G, что dF= ;

4) в области G всюду ¶R/¶y=¶Q/¶x

Док-ва.

Первый этап 1ó2 рассмотрим в области G два произвольных пути, соединяющих точки A и B: ACB и ADB - любые две кусочно–гладкие кривые. В сумме они составляют замкнутую кривую, L=ACB+BDA, расположенную в G. Согласно условию 1) Но

+ = - =0

Следовательно: =

т.е. условие 2) выполняется

Второй этап: Пусть = + = +

В силу свойства 1: = Þ =0

3) 3ó4 $F: Pdx+Qdy=dFÞ Þ . , , .

4) 2ó3 Pdx+Qdy=dF .

Вывод: не зависит от формы пути интегрирования, а зависит лишь от начальной и конечной точек Û .

Опр: Векторное поле , MÎD называется потенциальным в области D, если найдется скалярная функция h(M), такая, что . Сама функция h(M) называется потенциалов векторного поля F(M).

Опр: Циркуляцией векторного поля по замкнутому контуру называют величину . τ – единичный касательный вектор в положительном направлении обхода контура L.

Теорема: Для того чтобы гладкое векторное поле было потенциальным в выпуклой области D Û чтобы выполнялось одно из эквивалентных условий.

1) Для любой кусочно-замкнутой кривой LÎW

2) ,

Продолжение 9:

Теорема2 Пусть функции а_n(х) ÎR, n=1,2,3,… xÎ[a,b] непрерывны на [a,b] и ряд равномерно сх-ся на [a,b], тогда какова бы ни была точка x₀Î[a,b] ряд также равномерно сходится на [a,b] и при этом = .

Док-во: В силу равномерной сходимости ряда и непрерывности его членов на [a,b], его сумма S(x) также непрерывна на этом отрезке, а следовательно и интегрируема по Риману на любом отрезке с концами в точках x₀, x Î[a,b].

По теореме о предельном переходе под знаком интеграла заключаем что = сх-ся равномерно на [a,b] (т.е. ряд сх-ся равномерно на [a,b], при этом = остающееся недоказан рав-во для сумм вытекает из след равенств (по опр суммы) = = = = = опр суммы ряда;

Теорема3 Пусть функции а_n(х) n=1,2,3,… непрерывно диф-мы на [a,b] и ряд составленный из их производных равномерно сх-ся на [a,b]. Тогда если ряд сходится хотя бы в одной точке x₀Î[a,b], то он сходится равномерно на всем [a,b], его сумма S(x) является непрерывно диф-мой функцией и .