Теоремы о среднем интегрального исчисления.

Теорема о среднем Если f(x)ÎC[a,b]Þ "f m£f(x)£M; $μÎ[a,b]:

Док-во: В силу инт. неравенств Þ . Величину называют интегральным средним функции f(x) на [a,b]. Þ

Следствие: Если функция f(x) непрерывна на отрезке [a, b], Þ$εÎ[a,b]:

Док-во: m£f(x)£M "μÎ[m,M] $ξÎ[a,b]: f(ξ)= μ ˆ

Обобщенная теорема о среднем.

1) Если функции f(x) и j(x)Î [a, b], их произведение интегрируемо в промежутке [a,b], m£f(x)£M, функция j(х) знакопостоянна на нем Þ

$μÎ[a,b]:.

2) Если функции f(x) и j(x)ÎC[a,b] Þ $εÎ[a,b]:

Док-во: Пусть сначала j(x)³0, a<b тогда имеем mj(x)£f(x)j(x)£Mj(x)

Из этого нер-ва получаем m и

Если этот интеграл (φ(x)) =0, то из предыдущих нер-в ясно, что одновременно так же . И утверждение теоремы становится очевидным.

Если же интеграл больше нуля, то, разделив на него все части полученного выше двойного неравенства, положим И придем к требуемому результату.‡