Методические указания

Прежде чем перейти к наиболее важным приложениям производной при исследовании функций и построении их графиков, следует рассмотреть теоремы Ферма, Ролля и Лагранжа. Необходимо хорошо понимать геометрический смысл этих теорем, что позволит производить анализ непрерывности функций, оценивать их возрастание и убывание, находить экстремумы функций и точки перегиба.

При исследовании функций и построении их графиков рекомендуется использовать следующую схему:

1. Найти область определения функции.

2. Исследовать функцию на четность — нечетность.

3. Найти вертикальные асимптоты.

4. Исследовать поведение функции в бесконечности, найти горизонтальные или наклонные асимптоты.

5. Найти экстремумы и интервалы монотонности функции.

6. Найти интервалы выпуклости функции и точки перегиба.

7. Найти точки пересечения с осями координат и, возможно, некоторые дополнительные точки, уточняющие график.

Следует обратить внимание, что исследование функции проводится одновременно с построением ее графика.

При изучении дифференциала функции следует, прежде всего, разобраться с его геометрическим смыслом, что позволит облегчить понимание правил применения дифференциала в приближенных вычислениях.

Контрольные вопросы по теме

1. Что гласит теорема Ферма, в чем заключается ее геометрический смысл? Приведите доказательство.

2. Что гласит теорема Ролля, в чем заключается ее геометрический смысл? Приведите доказательство.

3. Что гласит теорема Лагранжа, в чем заключается ее механический и геометрический смысл? Приведите доказательство.

4. На чем основаны доказательства теорем возрастания и убывания функций? Приведите доказательства.

5. Что такое экстремум функции и как его найти?

6. Какие существуют необходимые и достаточные условия существования экстремума?

7. Какой существует порядок исследования функции на экстремум?

8. Как определить наибольшее и наименьшее значение функции на отрезке?

9. Как определить выпуклость функции и найти точки перегиба?

10. Что такое асимптота графика функции?

11. Какой существует порядок исследования функции и построения ее графика?

12. Что такое дифференциал функции, его геометрический смысл?

13. В чем заключается методика применения дифференциала в приближенных вычислениях?

14. В чем заключен смысл дифференциалов высших порядков?