Экстремумы функции одной и нескольких переменных. Необходимое и достаточное условие

Функция f(x) имеет в точке х₁ максимум, если ее значение в этой точке больше значений во всех точках некоторого интервала, содержащего точку х₁. Функция f(x) имеет в точке х₂ минимум, если f(x₂ +Dx) > f(x₂) при любом Dх (Dх может быть и отрицательным).

Точки максимума и минимума функции называются точками экстремума.

Теорема. (необходимое условие существования экстремума) Если функция f(x) дифференцируема в точке х = х₁ и точка х₁ является точкой экстремума, то производная функции обращается в нуль в этой точке.

Док-во. Предположим, что функция f(x) имеет в точке х = х₁ максимум. Тогда при достаточно малых положительных Dх>0 верно неравенство:

, т.е. Тогда

По определению:

Т.е. если Dх®0, но Dх<0, то f¢(x₁) ³ 0, а если Dх®0, но Dх>0, то f¢(x₁) £ 0. А возможно это только в том случае, если при Dх®0 f¢(x₁) = 0. Для случая, если функция f(x) имеет в точке х₂ минимум теорема доказывается аналогично. …

Следствие. Обратное утверждение неверно. Если производная функции в некоторой точке равна нулю, то это еще не значит, что в этой точке функция имеет экстремум. Красноречивый пример этого – функция у = х³, производная которой в точке х = 0 равна нулю, однако в этой точке функция имеет только перегиб, а не максимум или минимум.

Критическими точками функции называются точки, в которых производная функции не существует или равна нулю.

Рассмотренная выше теорема дает нам необходимые условия существования экстремума, но этого недостаточно.

Пример: f(x) = ôxô В точке х = 0 ф имеет минимум, но не имеет производной.

Пример: f(x) = В точке х = 0 ф не имеет ни максимума, ни минимума, ни производной.

Вообще говоря, функция f(x) может иметь экстремум в точках, где производная не существует или равна нулю.

Теорема. (Достаточные условия существования экстремума)

Пусть функция f(x) непрерывна в интервале (a, b), который содержит критическую точку х₁, и дифференцируема во всех точках этого интервала (кроме, может быть, самой точки х₁).

Если при переходе через точку х₁ слева направо производная функции f¢(x) меняет знак с “+” на “-“, то в точке х = х₁ функция f(x) имеет максимум, а если производная меняет знак с “-“ на “+”- то функция имеет минимум.

Док-во. Пусть По теор. Лагранжа: f(x) – f(x₁) = f¢(x)(x – x₁), где x<x<x₁. Тогда: 1) Если х < x₁, то x < x₁; f¢(x)>0; f¢(x)(x – x₁)<0, Þf(x) – f(x₁)<0 или f(x) < f(x₁). 2) Если х > x₁, то x > x₁; f¢(e)<0; f¢(x)(x – x₁)<0, Þf(x) – f(x₁)<0 или f(x) < f(x₁). Т. к. ответы совпадают, то можно сказать, что f(x) < f(x₁) в " т. вблизи х₁, т.е. х₁ – т. максимума. Док-во теоремы для т. минимума производится аналогично.…

Экстремумы функций многих переменных. Пусть дана функция и - внутренняя точка . Будем говорить, что функция в точке имеет локальный максимум (локальный минимум), если в некоторой окрестности этой точки выполняется неравенство , при этом точка называется точкой локального максимума (локального минимума ), а соответствующее значение функции -максимальным (минимальным) значением функции. Локальные максимумы и минимумы объединим общим названием ²локальный экстремум². Из определения экстремума следует, что в достаточно малой окрестности точки приращение ф. D не меняет своего знака, то есть