Определенный интеграл, его геометрический смысл и свойства в и свойства определенного интеграла.

Пусть на промежутке [ a; b ] задана функция f (x).

Опр.: Разбиением t отрезка [a,b] назовем совокупность точек этого отрезка x ₀, x ₁, x ₀,¼, x_n, удовлетворяющие условию: a < x ₁,< x ₂<¼< x_{n -1},< b.

[ x _i-1; x _i]–i-ый частичный отрезок i=1..n. Длину каждого частич. отр. обозн. D x _i= x _i-1– x _i

|t|=maxD x _i – наз. диаметром разбиения

Далее x={x₁, x₂,…, x_n} – система произвольно выбранных точек, x_iÎ[ x _i-1; x _i] i=1..n

Составим сумму: Она назыв интегральной суммой Римана ф-ии f (x) по промежутку [ a; b ].

Каждое слагаемое интегральной суммы представляет собой площадь прямоугольника, покрытого штриховкой на рис.

Опр: Û "ε>0 $δ(ε) "t на [a,b], |t|<δ "x:

|σ(f,t,x)-I|<ε |

Опр.:Если $ (f,t,x)=I не зависищий от способа разбиения t отр.[a,b] и от выбора x={x₁, x₂,…,x_n}, то этот предел наз. определенным интегралом (интеграл Римана) от ф-и f по отрезку [a,b]

Геометрический смысл Рассмотрим фигуру, ограниченную графиком непрерывной, неотрицательной на промежутке [a;b] f(x), и прямыми x=a; x=b, y=0. Такую фигуру называют криволинейной трапецией. Площадь S этой трапеции определяется формулой . Если f(x)≥0 во всех т промежутка [a;b] и непрерывна на этом промежутке

Теорема: Если функция f(x) непрерывна на отрезке [a, b], то она интегрируема на этом отрезке.

Св-ва определенного инт. 1 ; Док-во: В данном случае подынтегральная функция тождественно равна 1, и поэтому, при любом разбиении τ, все интегральные суммы Римана равны , а, следовательно

2. Если функция f(x) интегрируема на отрезке [a, b], то она интегрируема и на любом вложенном отрезке [c, d] [a, b]

3. Линейность ,

Док-во: Разобьем промежуток [a, b] произвольно на части и составим интегральные суммы для всех 3 интегралов. При этом т x_I в каждом частичном промежутке выбираем произвольно, но для всех сумм одни и те же; тогда будем иметь: (*)

пусть теперь |t|®0; т к для обеих сумм справа пределы $, то $ предел и для сумм слева, чем устанавливается интегрируемость ф. Переходя к пределам при |t|®0 получим (*) ƒ;

4. Аддитивность интеграла. Если fÎR[a,b] и a<c<b, то:

5. ; 6. 9. 10.

7. Интегрирование неравенств. Если f(x) £ j(x) на отр [a, b] a < b, то

8. Если m и M – соот-но наименьшее и наибольшее значения ф f(x) на отр [a, b], то: ;