Полезное:
Как сделать разговор полезным и приятным
Как сделать объемную звезду своими руками
Как сделать то, что делать не хочется?
Как сделать погремушку
Как сделать так чтобы женщины сами знакомились с вами
Как сделать идею коммерческой
Как сделать хорошую растяжку ног?
Как сделать наш разум здоровым?
Как сделать, чтобы люди обманывали меньше
Вопрос 4. Как сделать так, чтобы вас уважали и ценили?
Как сделать лучше себе и другим людям
Как сделать свидание интересным?
Категории:
АрхитектураАстрономияБиологияГеографияГеологияИнформатикаИскусствоИсторияКулинарияКультураМаркетингМатематикаМедицинаМенеджментОхрана трудаПравоПроизводствоПсихологияРелигияСоциологияСпортТехникаФизикаФилософияХимияЭкологияЭкономикаЭлектроника
|
Метод неопределенных коэффициентов для нахождения частного решения линейного неоднородного дифференциального уравнения с постоянными коэффициентами
Согласно общей теории линейных дифференциальных уравнений, для решения уравнения (1) достаточно знать фундаментальную систему решений однородного уравнения (2) и найти хотя бы одно решение неоднородного уравнения. Тогда любое решение неоднородного уравнения имеет вид: , где - произвольные постоянные. В случае уравнения с постоянными коэффициентами мы указали способы нахождения его фундаментальной системы решений. Используя метод вариации постоянных, можно теперь найти решение и неоднородного уравнения. Однако есть важные частные случаи, когда решение неоднородного уравнения можно отыскать значительно проще. Пусть (3), где - многочлены, - действительные числа. Согласно принципу суперпозиции, достаточно уметь решать уравнение вида (4). Тогда, решив каждое из уравнений и просуммировав полученные решения, мы получим решение исходного уравнения (3). Решения уравнения (4) имеют различный вид в зависимости от того, является или нет число корнем характеристического уравнения для однородного уравнения (2). В первом случае не является корнем характеристического уравнения. Тогда решение уравнения (4) можно искать в виде , где - многочлен той же степени, что и многочлен . Во втором случае, если является корнем характеристического уравнения (2) кратности , решение уравнения (4) следует искать в виде , где - многочлен той же степени, что и . Эти два случая можно объединить в один, если считать, что , не являющееся корнем характеристического уравнения, имеет нулевую кратность. Тогда решение уравнения (4) следует искать в виде , , где - кратность в характеристическом уравнении. Если в правую часть уравнения (1) входят слагаемые вида (5), где - многочлены, то можно искать решение уравнений (6) в виде , где - кратность корня в характеристическом многочлене однородного уравнения (, если - не корень характеристического уравнения), а степень каждого из многочленов равна наивысшей из степеней многочленов . Когда слагаемых вида (5) несколько, то мы решаем соответствующие им уравнения (6) и применяем затем принцип суперпозиции. Рассмотрим важный пример. Пример. Уравнение упругих колебаний без сопротивления при наличии возмущающей периодической силы: , - постоянные. Корни характеристичского уравнения равны . Поэтому фундаментальная система решений однородного уравнения состоит из функций . Если , то решение исходного уравнения ищем в виде . Подставляем его в уравнение: , , откуда , или , откуда . Тем самым, общее решение уравнения имеет вид . Здесь - амплитуда свободных колебаний, - частота свободных колебаний, - амплитуда вынужденных колебаний с частотой . Чем ближе величина , тем больше амплитуда вынужденных колебаний. Если же , то решение, согласно указанным выше правилам, следует искать в виде . Тогда . Подставим в уравнение: , или . Итак, общее решение уравнения имеет вид: . При амплитуда колебаний возрастает неограниченно. Это – явление резонанса.
|