Главная Случайная страница


Полезное:

Как сделать разговор полезным и приятным Как сделать объемную звезду своими руками Как сделать то, что делать не хочется? Как сделать погремушку Как сделать неотразимый комплимент Как противостоять манипуляциям мужчин? Как сделать так чтобы женщины сами знакомились с вами Как сделать идею коммерческой Как сделать хорошую растяжку ног? Как сделать наш разум здоровым? Как сделать, чтобы люди обманывали меньше Вопрос 4. Как сделать так, чтобы вас уважали и ценили? Как сделать лучше себе и другим людям Как сделать свидание интересным?

Категории:

АрхитектураАстрономияБиологияГеографияГеологияИнформатикаИскусствоИсторияКулинарияКультураМаркетингМатематикаМедицинаМенеджментОхрана трудаПравоПроизводствоПсихологияРелигияСоциологияСпортТехникаФизикаФилософияХимияЭкологияЭкономикаЭлектроника






Линейное однородное дифференциальное уравнение с постоянными коэффициентами. Характеристическое уравнение. Общее решение

 

Для уравнений (1), у которых (2), где - постоянные величины, существует способ, с помощью которого задачу нахождения фундаментальной системы решений можно свести к задаче нахождения корней некоторого вспомогательного алгебраического уравнения.

Для этого будем искать решения уравнения в виде . При этом (3). Подставим полученные величины в уравнение (1): , или . Поскольку при всех , из этого уравнения следует, что (4).

Таким образом, функция удовлетворяет уравнению (1) тогда и только тогда, когда удовлетворяет уравнению (4). Уравнение (4) называется характеристическим уравнением уравнения (1).

Далее мы установим вид фундаментальной системы решений уравнения (1) в зависимости от свойств корней уравнения (4).

Случай 1. Пусть все корни уравнения (4) действительные и различные. Обозначим их и рассмотрим функции , являющиеся решениями уравнения (1) по доказанному выше. Докажем линейную независимость. Это будет означать, что - фундаментальная система решений (1). Определитель Вронского этой системы функций равен, с учетом (2) или, после вынесения из столбцов множителей . Определитель представляет собой известный определитель Вандермонда. Он равен . Поэтому если все числа попарно различны, этот определитель не равен 0. Следовательно, как доказано выше (теорема 7 предыдущего параграфа), функции линейно независимы и составляют искомую фундаментальную систему решений.

2 случай. Все корни - различные, но среди них есть комплексные числа. Формально - это снова фундаментальная система решений уравнения, т.к. эти функции линейно независимы (их определитель Вронского, как и в случае 1, отличен от 0). Однако мы рассматриваем уравнение с действительными коэффициентами и нам было бы желательно построить фундаментальную систему решений, состоящую из действительных функций. Для этого мы сначала установим следующую важную лемму.

Лемма. Пусть - линейное однородное дифференциальное уравнение (1) такое, что все постоянные - действительные числа. Пусть комплексная функция удовлетворяет этому уравнению. Тогда ему удовлетворяют и функции .



Доказательство. Равенство означает: , откуда , или . Комплексная величина равна 0 тогда и только тогда, когда ее действительная часть и мнимая часть равны 0, откуда , т.е. - решения уравнения (1), что и требовалость доказать.

Пусть теперь - любой комплексный корень уравнения (4). Поскольку (4) имеет действительные коэффициенты, число также является его корнем. Значит, - тоже решение уравнения (1).

Далее, . По лемме, также являются решениями уравнения (1). Легко видеть, , т.е. являются линейными комбинациями . Разумеется, также можно линейно выразить через . Поэтому линейная независимость решений с остальными решениями уравнения (1) равносильна линейной независимости с остальными решениями.

Подведем итоги. В случае, когда все - различные, причем - действительные, а - пара комплексно сопряженных чисел ( ), причем , то фундаментальная система решений уравнения (1) имеет вид: .

Случай 3. Корни характеристического уравнения действительные, но среди них есть кратные. Напомним, что число называется корнем многочлена кратности , если , где - многочлен, причем .

Пусть корни имеют, соответственно, кратности . Тогда можно доказать (но мы оставим это без доказательства), что функции составляют фундаментальную систему решений уравнения (1).

Пример. Приведем пример, подтверждающий это утверждение. Уравнению соответствует характеристическое уравнение , . Оно имеет корень с кратностью 2. Рассмотрим функции . и подставляя в исходное уравнение, получаем , т.е. верное равенство. Далее, и подстановка функции в уравнение дает верное равенство: . Итак, - действительно решения уравнения . Эти функции линейно независимы, т.к. из равенства при следует . Значит, . Тогда при .

В случае 4, когда действительные корни уравнения (4) имеют кратности , а комплексные корни имеют кратности можно доказать, что функции образуют фундаментальную систему решений уравнения (1).

Осталось напомнить, что согласно теореме 9 предыдущего параграфа, произвольное решение уравнения (1) имеет вид: , где в качестве можно в каждом из рассмотренных случаев выбрать построенные элементы фундаментальной системы решений.

 








Date: 2016-07-05; view: 23; Нарушение авторских прав

mydocx.ru - 2015-2018 year. (0.005 sec.) Все материалы представленные на сайте исключительно с целью ознакомления читателями и не преследуют коммерческих целей или нарушение авторских прав - Пожаловаться на публикацию