Линейное дифференциальное уравнение n-ного порядка. Свойства линейного однородного дифференциального уравнения

Рассмотрим дифференциальное уравнение n-порядка, разрешенное относительно n - ной производной:

Теорема: Пусть - некоторый заданный набор чисел. Пусть функция от n+1 переменных обладает следующими свойствами: она непрерывна на совокупности переменных в области , и пусть частные производные f по аргументам ограничены (это, в частности, выполнено, если эти частные производные непревные в рассматриваемой области).

Тогда существуют такие числа и такая функция , определенная в интервале , что для всех x из этого интервала, причем .
Без доказательства.
Полученное решение зависит от заданных чисел . Если считать эти числа изменяющимися параметрами и обозначить , то решение уравнения , соответствующее такому выбору параметров обозначим и назовем общим решением.
При фиксированных значениях получаем частное решение, или решение задачи Коши с начальными условиями . График этого частного решения интегральная кривая.

Рассмотрим дифференциальное уравнение (1), где - функции, непрерывные на некотором интервале .

Это уравнение называется линейным, поскольку все величины входят в него в первой степени, т.е. линейным образом. Если , то это уравнение называется линейным однородным (2).

Если же , то (1) – линейное неоднородное уравнение.

Удобно записывать уравнения (1) и (2) в операторной форме: и , соответственно, где величину можно рассматривать как результат действия линейного дифференциального оператора на функцию .

Теорема 1. Для любого и любых задача Коши имеет единственное решение , определенное на .

Доказательство. Применим общую теорему существования и единственности. Уравнение перепишем в виде . Соответствующая функция имеет вид . Ее частные производные по равны, соответственно . Поскольку , по условию, непрерывны на , все условия общей теоремы выполнены. Применяя ее, получаем требуемое.

Свойства линейных однородных дифференциальных уравнений.

Лемма 1. Для любых , имеющиъ производные до порядка включительно, и любых постоянных .

Замечание 1. Иными словами, - линейный оператор.

Замечание 2. Утверждение леммы равносильно тому, что и .

Доказательство. Для любого в силу известных свойств производной (при под понимается сама функция ).

Следовательно, .

Следствие. Если имеют производные до -го порядка включительно, а - постоянные, то .

Доказательство. Воспользуемся индукцием по . При по лемме 1 (при ). Если утверждение доказано при , то, по лемме 1, (по индуктивному предположению) .

Теорема 2. Множество решений линейного однородного дифференциального уравнения (2) представляет собой векторное пространство.

Доказательство. Следует доказать, что если - решения уравнения, то - тоже решение, и если - решение, а - постоянная, то - тоже решение, т.е. .

По замечанию 2 к лемме 1, .