Функция L(X) называется функцией Лагранжа.

Согласно этой теореме, чтобы найти точку М₀ условного экстремума функции f(X), необходимо найти стационарную точку функции Лагранжа L(X) (3), то есть найти частные производные функции L(X) и решить систему (n + m) уравнений с (n + m) неизвестными x₁, x₂,..., x_n, l₁, l₂,..., l_m:

(4).

Рассмотрим задачу условного экстремума для случая функции двух переменных.

Пусть задана функция двух переменных z = f (x,y) в некоторой области D. И пусть в этой области задана некоторая линия l: - уравнение связи.

Определение. Условным экстремумом функции z = f (x,y) называется экстремум этой функции, достигнутый при условии, что переменные x и y связаны уравнением связи .

Замечание: Точки обычного (безусловного) экстремума являются и точками условного экстремума для любой линии l, проходящей через эту точку. Обратное не верно: т.е. точка локального экстремума не обязательно является точкой безусловного экстремума.

Отыскание условного экстремума можно свести к исследованию на обычный экстремум с помощью функции Лагранжа: L(x,y) = f (x,y) +

где - неопределенный постоянный множитель.

Необходимые условия экстремума функции Лагранжа имеют вид:

Из этой системы трёх уравнений можно найти неизвестные x, y и .

Пример:

- полусфера, радиус ее R = 1 и центр – точка О (0,0),

В точке О (0,0) – экстремум (безусловный максимум) - точка М (0,0,1).

Проведем в области D прямую АВ, её уравнение: x + y =1 (*)

Найти условный экстремум функции z на прямой (*): x + y -1 = 0

Уравнение (*) – уравнение связи.

Функция Лагранжа для функции и уравнения связи (*):

Имеем:

Необходимые условия экстремума:

Вычтем из первого второе.

x + y = 1

y – x =0

y + x =1 Прибавим к первому второе.

2y = 1

y = . Следовательно, точка (1/2; 1/2; Ö2/2) – стационарная точка для функции L(x,y,l). Покажем, что точка С (1/2; 1/2) – точка условного экстремума для функции .

Воспользуемся достаточными условиями экстремума, сформулированными для функции двух переменных в пункте 2 §7.

Поскольку D > 0 и A < 0, то в точке С () функция имеет максимум: .