П.3 Наибольшее и наименьшее значение функции в замкнутой области

Пусть функция z = f (x,y) определена и непрерывна в ограниченной замкнутой области . Тогда она достигает в некоторых точках области своего наибольшего М и наименьшего m значений (глобальные экстремумы – глобальный максимум М и глобальный минимум m). Эти значения достигаются функцией в точках, расположенных: или внутри области , или в точках, лежащих на границе этой области.

Сформулируем правило нахождения наибольшего и наименьшего значений дифференцируемой в области функции z = f (x,y):

1. Найти все критические точки функции, принадлежащие , и вычислить значения функции в них.
2. Найти наибольшие и наименьшие значения функции z = f (x,y) на границах области.
3. Сравнить все найденные значения функции и выбрать из них наибольшее М и наименьшее m.

Пример:

Найти наибольшее и наименьшее значения функции z = x²y + xy² + xy в замкнутой области, ограниченной линиями:

Y y =

Решение:

1. Построим область
2. Найдем критические точки

а) z’_x=2xy + y² + y

z’_y=x² + 2xy +x

б) 2xy + y² + y = 0

x² + 2xy +x = 0

y(2x + y + 1)=0

x(2y + x + 1)=0

1) O(0,0), тогда 2x + y = -1 ´2

x + 2y= -1

4x + 2y = -2

x + 2y = -1

3x = -1

x = - y = - : М₁ ()

2) x = 0 y :

y (y + 1) = 0

y = -1 М₂ (0,-1)

3) y = 0: x (x + 1)=0

x = -1 М₃(-1, 0)

Ни одна из этих точек не принадлежит области .

1. Исследуем функцию z на границах области, состоящей из участков AB, BC, CE, EA.

a) На участке АВ:

x = 1: z = y² + 2y, где

z’_y = 2y + 2, 2y + 2 =0 y =-1

Найдем значение функции: z(-1) = -1; z(-1.5) = - ; z(1) = 3.

б) На участке ВС:

в) На участке СЕ:

x =2: z = 2y² + 6y

z’_y= 4y + 6, 4y + 6 = 0, y =

Значение функции: z()= -4.5; z (0.5) = 3.5

г) На участке АЕ: y = , z = x² + x,

z’_x= -3x + , -3x + =0, x =

Значение функции: z (1) = - , z (2) = -4.5.

1. Сравнивая полученные результаты, имеем: наибольшее значение функции M = 3.5 =z (2; ) = z (C).

наименьшее значение функции m = -4.5 = z (2;-1.5) = z (Е).