Геометрический смысл полного дифференциала.

Для функции одной переменной y = f(x) в точке x₀ геометрический смысл дифференциала означает приращение ординаты касательной, проведенной к графику функции в точке с абсциссой x₀ при переходе к точке x₀ + Dx. А дифференциал функции двух переменных в этом плане является приращением аппликаты касательной плоскости, проведенной к поверхности, заданной уравнением z = f(x,y), в точке M₀(x₀, y₀) при переходе к точке M(x₀ + Dx, y₀ + Dy). Дадим определение касательной плоскости к некоторой поверхности:

Определение. Плоскость, проходящая через точку Р₀ поверхности S, называется касательной плоскостью в данной точке, если угол между этой плоскостью и секущей, проходящей через две точки Р₀ и Р (любая точка поверхности S), стремится к нулю, когда точка Р стремится по этой поверхности к точке Р₀.

Пусть поверхность S задана уравнением z = f(x,y). Тогда можно показать, что эта поверхность имеет в точке P₀(x₀, y₀, z₀) касательную плоскость тогда и только тогда, если функция z = f(x,y) дифференцируема в этой точке. В этом случае касательная плоскость задается уравнением:

z – z₀ = + (6).

Следовательно, приращение Dz аппликаты касательной плоскости определяется формулой:

Dz = + , что совпадает с формулой полного дифференциала функции двух переменных.