Частные производные функции нескольких переменных.

Пусть функция y = f(x₁, x₂,..., x_n) (y = f(X)) определена в некоторой окрестности точки M(x₁, x₂,..., x_n) = M(X) и в этой точке функция имеет значение f(M).

Дадим первому аргументу х₁ приращение Dх₁, а другие переменные останутся неизменными. При этом получаем «новую» точку М₁(х₁+Dх₁, х₂,..., х_n), которая принадлежит указанной окрестности точки М, и значение функции в этой точке f(M₁).

Тогда соответствующее приращение функции называется частным приращением функции y = f(X) по переменной х₁:

D_х1y = f(M₁) – f(M) = f(х₁+Dх₁, х₂,..., х_n) - f(x₁, x₂,..., x_n) (1).

Аналогично можно определить частные приращения функции y = f(X) в точке М, соответствующие приращению Dх_i любого из n аргументов x_i, i = 1,2,…n:

Пусть точка М_i(x₁, x₂,..., x_i+Dx_i,..., x_n) принадлежит указанной окрестности точки М и значение функции в этой точке f(M_i), тогда частное приращение этой функции по аргументу x_i:

D_хiy = f(M_i) – f(M) = f(x₁, x₂,..., x_i+Dx_i,..., x_n) - f(x₁, x₂,..., x_n) (2).

Рассмотрим в данной точке M(x₁, x₂,..., x_n) = M(X) отношение частного приращения D_хiy к соответствующему приращению i –ого аргумента - Dх_i:

(3).

Определение. Если существует предел отношения частного приращения функции D_хiy в точке М к соответствующему приращению аргумента Dх_i при Dх_i ® 0, то он называется частной производной функции y = f(X) в точке М(Х) по аргументу x_i и обозначается: .

Таким образом, согласно определению: .

Частная производная функции y = f(X) по аргументу x_i в точке М₀(x₁⁰, x₂⁰,..., x_n⁰) обозначается: или .

Т.о., частная производная функции y = f(X) по аргументу x_i есть производная функции по этой переменной при условии, что остальные независимые переменные не изменяют своего значения, т.е. постоянны. Поэтому частные производные функции y = f(X) находят по формулам и правилам вычисления производных функции одной переменной, при этом соответственно другие переменные считаются const.

Примеры. Найти частные производные функций:

1) z = x² – 2xy + y²

________________________________ ________________________________

2) z = arctq(y/x)

________________________________________________________________________

3) u = ye^yz + ln(x² – 2y + z)

Замечание. Частная производная функции нескольких переменных характеризует скорость ее изменения по данному аргументу при фиксированном значении других аргументов.

4) Найти скорости изменения объема продукции Q при изменениях одного из факторов: затрат капитала K или величины трудовых ресурсов L по функции Кобба-Дугласа Q = AK^aL^1-a.

_____________________________________________________

_____________________________________________________

Величину K/L называют средней фондовооруженностью – это стоимость фондов (капитала), приходящаяся в среднем на единицу трудовых ресурсов.

- производная выпуска по труду приближенно равна добавочной стоимости продукции, произведенной еще одной дополнительной трудовой единицей, поэтому частная производная называется предельной производительностью труда.

- производная выпуска по фондам приближенно равна добавочной стоимости продукции, произведенной еще одной дополнительной единицей фондов, поэтому ее называют предельной фондоотдачей.

Найдем частные эластичности функции Кобба-Дугласа:

1) Эластичность выпуска по фондам

2) Эластичность выпуска по труду

________________________________________________________________________

Т.о. степени a и 1-a имеют экономический смысл – это эластичности выпуска по фондам и по труду соответственно.