Свойства эластичности

1. Эластичность взаимообратных функции – есть взаимообратные функции:

..................................................................

Например, эластичность величины спроса по цене обратна эластичности цены по величине спроса:

E_p^D = 1/E_D^p

2. Эластичность произведения двух функций U(x) и V(x) равна сумме эластичностей:

Е_х^UV = E_x^U + E_x^V

Доказательство:

..............................................................

.............................................................

3. Эластичность частного функций U(х) и V(х) равна разности эластичностей

Е_х^U/V = E_x^U - E_x^V

Доказательство:

..............................................................

.............................................................

4. Для сложной функции у=f(u), где u= u(х) эластичность функции у по х находится по формуле:

Е_х^y = E_u^y ּ E_x^u

Доказательство:

..............................................................

.............................................................

Эластичность элементарных функций:

1) у=С=const E_x^C = =0.

2) у=а_х +в E_x^y =

3) у=х^α E_x^y =

4) у=а^х E_x^y =

5.3 Эластичность спроса и предложения

Пусть D=D(р) – функция спроса от цены товара р. Тогда под эластичностью спроса понимается относительное изменение спроса при изменении цены товара на 1%:

E_p^D =................................. (2).

Аналогичное понятие можно ввести и для функции предложения S(р). Заметим, что функция D(р) убывает, а функция S(р) – возрастает с ростом р. Поскольку D (р) убывающая функция, то D´(р) <0 и тогда Е_p^D< 0. Различают три вида спроса в зависимости от величины |Е_p^D |:

a. если |Е_p^D | > 1 (Е_p^D < -1), то считается эластичным;

b. если |Е_p^D | = 1 (Е_p^D = -1), то спрос нейтрален;

c. если |Е_p^D | < 1 (Е_p^D > -1), то спрос неэластичен.

Пример №1.

Пусть D(р)= D₀e^-kp, где D₀> 0 и k >0 - известные величины.

Найти, при каких значениях цены p спрос будет эластичным.

Решение.

Найдём E_p^D -?

E_p^D =.......................................................

Для того чтобы спрос был эластичным, составим неравенство:

|Е_p^D | > 1 → |-2kp² | > 1

2kp² >1

p² >

|p|>, т.к. p>0, то p >

Пример №2.

Найти изменение выручки с увеличением цены товара при разных эластичностях спроса.

Выручка R от продажи какого-либо товара вычисляется по формуле:

R(p) = pD(p), где p – цена товара,

D(p) – функция спроса.

Найдём эластичность: E_p^R = E_p^pD(p) = E_p^p + E_p^D, т.к. E_p^D < 0, то

E_p^R = 1 - |Е_p^D | (3).

Проанализируем все варианты эластичности выручки:

с учётом формулы (3)

ü если спрос эластичен, т. е. |Е_p^D | >1, то эластичность выручки E_p^R<0. Т.о., при эластичном спросе повышение цены ведёт к снижению выручки, а снижение цены увеличивает выручку.

ü если спрос нейтрален, т. е. |Е_p^D |=1, то E_p^R=0, т. е. при нейтральном спросе изменение цены на товар не влияет на выручку.

ü если спрос неэластичен, т. е. |Е_p^D |<1, то E_p^R>0, т.е. при неэластичном спросе повышение цены на товар приводит к росту выручки.

Пример №3.

Пусть зависимость между себестоимостью продукции S и объёмом её производства Q выражается формулой: S = 50-0,4 Q.

Q₂ = 2

Проверка показывает, что П_max = 1290:

П(1)=-1+36-69-4000=-40034

П(23)=-23³ +36 ּ 23²- 69 ּ 23-4000=-12167+19044-1587-4000=1290