Производные и дифференциалы высших порядков.

Пусть имеется функция , от которой мы вычислили первую производную . Но снова является функцией и от нее можно тоже вычислить производную. Производная от первой производной т.е. называется второй производной и обозначается :

Аналогично, производная от второй производной называется третьей производной

.

Аналогично определяются производные более высоких порядков. Отметим только, что производные более высоких порядков отмечаются не штрихами (их было бы слишком много) а цифрами, заключенными в скобки - , и т.д.

Итак, производная n-го порядка определяется как производная от производной (n-1)-го порядка

Основные формулы, касающиеся производных высших порядков, следующие:

1.

2.

3.

Первые две формулы очевидны. Третью формулу, носящую название формулы Лейбница, мы доказывать не будем. При ее применении следует только иметь ввиду, что производной нулевого порядка считается сама функция, т.е. .

Аналогично этому, дифференциалом второго порядка называется дифференциал от первого дифференциала, т.е.

Выведем формулу для . Имеем

При дальнейшем преобразовании следует иметь в виду, что , совпадающее с приращением аргумента , есть величина, совершенно не зависимая от , т.к. мы можем взять каким угодно. Поэтому по отношению к

.

Скобки у обычно не пишут

Отсюда

Аналогично, дифференциал третьего порядка определяется как дифференциал от второго дифференциала

Имеем

так что

;

В общем случае

Легко показывается по индукции, что

; .

ЛЕКЦИЯ 7