Полезное:
Как сделать разговор полезным и приятным
Как сделать объемную звезду своими руками
Как сделать то, что делать не хочется?
Как сделать погремушку
Как сделать так чтобы женщины сами знакомились с вами
Как сделать идею коммерческой
Как сделать хорошую растяжку ног?
Как сделать наш разум здоровым?
Как сделать, чтобы люди обманывали меньше
Вопрос 4. Как сделать так, чтобы вас уважали и ценили?
Как сделать лучше себе и другим людям
Как сделать свидание интересным?
Категории:
АрхитектураАстрономияБиологияГеографияГеологияИнформатикаИскусствоИсторияКулинарияКультураМаркетингМатематикаМедицинаМенеджментОхрана трудаПравоПроизводствоПсихологияРелигияСоциологияСпортТехникаФизикаФилософияХимияЭкологияЭкономикаЭлектроника
|
Лекция 2. Математическое моделирование сложных системОсновные обозначения и определения Концептуальная (содержательная) модель – абстрактная модель, определяющая состав и структуру системы, свойства ее элементов и причинно-следственные связи, присущие исследуемой системе, существенные для достижения цели моделирования. Пример описания концептуальной модели см. на рис. 2.1
Рисунок 2.1 – Пример графического описания концептуальной модели Система S – совокупность элементов со связями и целью функционирования F. Э лемент s есть некоторый объект, обладающий определенными свойствами, внутреннее строение которого для целей исследования не играет роли. Связь L между элементами есть процесс их взаимодействия, важный для целей исследования. Цель функционирования есть задача получения желаемого состояния системы. Достижение цели обычно влечет целенаправленное вмешательство в процесс функционирования системы, которое называется управлением. Параметры системы - это характеристики системы, остающиеся постоянными на всем интервале T. Переменные бывают зависимые и независимые. Независимые переменные – это, как правило, входные воздействия (в том числе управляющие) ими могут быть также воздействия внешней среды. Зависимые переменные – выходные характеристики (сигналы). Множество переменных вместе с законами функционирования называется математической моделью системы. Общая схема математической модели представлена на рис. 2.2. I zUvOT8nMS7dVCg1x07VQUiguScxLSczJz0u1VapMLVayt+PlAgAAAP//AwBQSwMEFAAGAAgAAAAh ADxeeHPBAAAA2gAAAA8AAABkcnMvZG93bnJldi54bWxEj8FqwzAQRO+F/oPYQm+N3BAH40Y2TiBN rk3S+2JtZVNr5UpK4vx9VCj0OMzMG2ZVT3YQF/Khd6zgdZaBIG6d7tkoOB23LwWIEJE1Do5JwY0C 1NXjwwpL7a78QZdDNCJBOJSooItxLKUMbUcWw8yNxMn7ct5iTNIbqT1eE9wOcp5lS2mx57TQ4Uib jtrvw9kqKKJfGpNx/k7z9aJZ7D7z5mdQ6vlpat5ARJrif/ivvdcKcvi9km6ArO4AAAD//wMAUEsB Ai0AFAAGAAgAAAAhAASrOV4AAQAA5gEAABMAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAFtDb250ZW50X1R5cGVz XS54bWxQSwECLQAUAAYACAAAACEACMMYpNQAAACTAQAACwAAAAAAAAAAAAAAAAAxAQAAX3JlbHMv LnJlbHNQSwECLQAUAAYACAAAACEAMy8FnkEAAAA5AAAAEgAAAAAAAAAAAAAAAAAuAgAAZHJzL3Bp Y3R1cmV4bWwueG1sUEsBAi0AFAAGAAgAAAAhADxeeHPBAAAA2gAAAA8AAAAAAAAAAAAAAAAAnwIA AGRycy9kb3ducmV2LnhtbFBLBQYAAAAABAAEAPcAAACNAwAAAAA= "> I zUvOT8nMS7dVCg1x07VQUiguScxLSczJz0u1VapMLVayt+PlAgAAAP//AwBQSwMEFAAGAAgAAAAh AG03DTXAAAAA2gAAAA8AAABkcnMvZG93bnJldi54bWxEj0GLwjAUhO+C/yE8wZumirhSjSLKwoKC tBa8PppnW2xeShO1/nsjCHscZuYbZrXpTC0e1LrKsoLJOAJBnFtdcaEgO/+OFiCcR9ZYWyYFL3Kw Wfd7K4y1fXJCj9QXIkDYxaig9L6JpXR5SQbd2DbEwbva1qAPsi2kbvEZ4KaW0yiaS4MVh4USG9qV lN/Su1FwSvCA++lstthn2U9yvOzSm06VGg667RKEp87/h7/tP61gDp8r4QbI9RsAAP//AwBQSwEC LQAUAAYACAAAACEABKs5XgABAADmAQAAEwAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAW0NvbnRlbnRfVHlwZXNd LnhtbFBLAQItABQABgAIAAAAIQAIwxik1AAAAJMBAAALAAAAAAAAAAAAAAAAADEBAABfcmVscy8u cmVsc1BLAQItABQABgAIAAAAIQAzLwWeQQAAADkAAAASAAAAAAAAAAAAAAAAAC4CAABkcnMvcGlj dHVyZXhtbC54bWxQSwECLQAUAAYACAAAACEAbTcNNcAAAADaAAAADwAAAAAAAAAAAAAAAACfAgAA ZHJzL2Rvd25yZXYueG1sUEsFBgAAAAAEAAQA9wAAAIwDAAAAAA== "> Рисунок 2.2 – Общая схема математической модели системы Непрерывно–детерминированные модели (D – схемы) (рис. 2.3). Непрерывные детерминированные модели используют дифференциальные уравнения. Данные схемы отражают динамику процессов, протекающих во времени в системе. В общем виде модель описывается следующим образом: Рисунок 2.3 – Графическое представление схемы отражения динамики процессов, протекающих во времени Далее будут рассмотрены примеры моделей. Модель Мальтуса – описывает динамику изменения некоторой популяции: где — некоторый параметр, определяемый разностью между рождаемостью и смертностью. Иными словами, Скорость роста пропорциональна текущему размеру популяции. Решением этого уравнения является экспоненциальная функция . Если рождаемость превосходит смертность ( >0), размер популяции неограниченно и очень быстро возрастает. Понятно, что в действительности этого не может происходить из-за ограниченности ресурсов. При достижении некоторого критического объёма популяции модель перестает быть адекватной, поскольку не учитывает ограниченность ресурсов. Уточнением модели Мальтуса может служить логистическая модель, которая описывается дифференциальным уравнением Ферхюльста где — «равновесный» размер популяции, при котором рождаемость в точности компенсируется смертностью. Размер популяции в такой модели стремится к равновесному значению , причем такое поведение структурно устойчиво. Модель Ло́тки — Вольтерра. Модель взаимодействия двух видов типа "хищник - жертва", названная в честь её авторов (Лотка, 1925; Вольтерра 1926), которые предложили модельные уравнения независимо друг от друга. Такие уравнения можно использовать для моделирования систем «хищник-жертва», «паразит-хозяин», конкуренции и других видов взаимодействия между двумя видами (Одум, 1986). В математической форме предложенная система имеет следующий вид: где — количество жертв, — количество хищников, — время, , , и — коэффициенты, отражающие взаимодействия между видами. Модели в пространстве состояний. Пространство состояний — в теории управления один из основных методов описания поведения динамической системы. Движение системы в пространстве состояний отражает изменение ее состояний. В пространстве состояний создаётся модель динамической системы, включающая набор переменных входа, выхода и состояния, связанных между собой дифференциальными уравнениями первого порядка, которые записываются в матричной форме. В отличие от описания в виде передаточной функции и других методов частотной области, пространство состояний позволяет работать не только с линейными системами и нулевыми начальными условиями. В пространстве состояний относительно просто работать с MIMO-системами. Схема модели в пространстве состояний изображена на рис. 2.4. Рисунок 2.4 – Схема модели в пространстве состояний Для случая линейной системы с входами, выходами и переменными состояния описание имеет вид: где – вектор состояния, — вектор выхода, — вектор управления, матрица системы, — матрица управления, — матрица выхода, — матрица прямой связи. Дискретно–детерминированные модели (F – схемы). Основным видом дискретно- детерминированных моделей является конечный автомат. Конечным автоматом называют дискретный преобразователь информации, способный под воздействием входных сигналов переходить из одного состояния в другое и формировать сигналы на выходе. Это автомат с памятью. Для организации памяти в описание автомата вводят автоматное время и понятие состояние автомата. Понятие «состояние» автомата означает, что выходной сигнал автомата зависит не только от входных сигналов в данный момент времени, но и учитывает входные сигналы, поступающие ранее. Это позволяет устранить время как явную переменную и выразить выходные сигналы как функцию состояний и входных сигналов.
Всякий переход автомата из одного состояния в другое возможен не ранее, чем через дискретный интервал времени. Причем сам переход считается, происходит мгновенно, то есть не учитывают переходные процессы в реальных схемах. Существует два способа введения автоматного времени по которому автоматы делятся на синхронные и асинхронные. В синхронных автоматах моменты времени, в которых фиксируются изменения состояний автомата, задаются специальным устройством - генератором синхросигналов. Причем сигналы поступают через равные интервалы времени - . Частота тактового генератора выбирается такой, чтобы любой элемент автомата успел закончить свою работу до появления очередного импульса. В асинхронном автомате моменты перехода автомата из одного состояния в другое заранее не определены и зависят от конкретных событий. В таких автоматах интервал дискретности является переменным. Также существуют детерминированные и вероятностные автоматы. В детерминированных автоматах поведение и структура автомата в каждый момент времени однозначно определены текущей входной информацией и состоянием автомата. В вероятностных автоматах они зависят от случайного выбора. Абстрактно конечный автомат можно представить как математическую схему (F–схему), которая характеризуется шестью видами переменных и функций: - конечное множество x(t) входных сигналов (входной алфавит); - конечное множество y(t) выходных сигналов (выходной алфавит); - конечное множество z(t) внутренних состояний (алфавит состояний); - начальное состояние автомата z0, ; - – функция переходов автомата из одного состояния в другое; - – функция выходов автомата. Абстрактный конечный автомат имеет один вход и один выход. В каждый дискретный момент времени t=0,1,2,... F-автомат находится в определенном состоянии z(t) из множества Z - состояний автомата, причем в начальный момент времени t=0 он всегда находится в начальном состоянии z(0)=z0. В момент t, будучи в состоянии z(t), автомат способен воспринять на входном канале сигнал и выдать на выходном канале сигнал переходя в состояние где Абстрактный конечный автомат реализует некоторое отображение множества слов входного алфавита X на множество слов выходного алфавита Y, то есть, если на вход конечного автомата, установленного в начальное состояние , подавать в некоторой последовательности буквы входного алфавита , которые составляют входное слово, то на выходе автомата будут последовательно появляться буквы выходного алфавита , образуя выходное слово. Следовательно, работа конечного автомата происходит по следующей схеме: на каждом t-ом такте на вход автомата, находящегося в состоянии , подается некоторый сигнал , на который автомат реагирует переходом на -ом такте в новое состояние и выдачей некоторого выходного сигнала. В зависимости от способа определения выходного сигнала абстрактные конечные автоматы (синхронные) подразделяются на два типа: - F – автомат первого рода, автомат Мили:
- F – автомат второго рода, автомат Мура: Чтобы задать конечный F – автомат, необходимо описать все элементы множества Пример конечного автомата (рис. 2.5). Рисунок 2.5 – Пример конечного автомата - состояние (state) –ситуация, при которой автомат осуществляет некоторую деятельность или ожидает некоторого события; - событие (event) – происшествие, занимающее определенное положение во времени и пространстве; - переход (transition) – переход из одного состояния в другое в ответ на событие. Дискретно – стохастические модели (Р - схемы). Дискретно-стохастические модели называют также вероятностными автоматами. В общем, виде вероятностный автомат является дискретным потактным преобразователем информации с памятью, функционирование которого в каждом такте зависит только от состояния памяти в нем и может быть описано статистически. Частным случаем Р– автомата, задаваемого являются автоматы, у которых либо переход в новое состояние, либо выходной сигнал определяются детерминировано (Z– детерминированный вероятностный автомат, Y– детерминированный вероятностный автомат соответственно). Схемы вероятностных автоматов (Р-схем) применяются: - в проектировании дискретных систем, проявляющих статистически закономерное случайное поведение; - в определении алгоритмических возможностей систем; - в обосновании границ целесообразности их использования; - в решении задач синтеза по выбранному критерию дискретных стохастических систем, удовлетворяющих заданным ограничениям. Математическое понятие Р-автомата формируется на понятиях, введенных для F'-автомата. Пример Р-схемы. Y–детерминированный Р–автомат задан таблицей переходов и таблицей выходов:
Требуется оценить суммарные финальные вероятности пребывания этого автомата в состоянии z2 и z3.
Дискретно – непрерывные модели. В комбинированных дискретно-непрерывных моделях независимые переменные могут изменяться как дискретно, так и непрерывно. В рамках методологии комбинированного моделирования исследуемая система описывается с помощью элементов, их атрибутов и переменных состояния. Поведение системы имитируется путем вычисления значений переменных состояния через небольшие отрезки времени и значений атрибутов элементов в моменты свершения событий. Процессы в линейных импульсных и цифровых системах описываются дискретно – разностными уравнениями вида:
где x(n) – решетчатая функция входного сигнала;
Основным математическим аппаратом моделирования цифровых систем является Z– преобразование.
|