Ошибки функций измеренных величин

В общем случае найдем среднюю квадратическую ошибку M _F некоторой функции вида

F = f (x ₁ , x ₂,..., x _n ), (1.39)

где x _i - коррелированные аргументы, связанные между собой зависимостями и полученные из наблюдений.

При этом будем иметь в виду, что средние квадратические ошибки результатов измерений m ₁, m ₂,..., m _n известны. Кроме этого, предположим, что X ₁, X ₂,..., X _n - истинные значения аргументов. Каждая величина измерялась k раз, т. е.

для X ₁ : x ₁₁, x ₁₂,..., x _1k ;

для X ₂ : x ₂₁, x ₂₂,..., x _2k;

................

для X_n: x _n1, x _n2,..., x _nk.

Для каждой серии наблюдений получим значения оцениваемой функции (1.39):

F ₁= f (x ₁₁, x ₁₂,..., x _1n);

F ₂ = f (x ₂₁, x ₂₂,..., x _2n );

...................... (1.40)

F_k = f (x_k1, x_k2,..., x_kn ).

Используя равенство (1.1), получим вместо уравнений (1.40) следующие зависимости:

F ₁ = f (X ₁ + D ₁₁, X ₂ + D₂₁,..., X _n + D_n1 );

F ₂ = f (X ₁ + D₁₂, X ₂ + D₂₂,..., X _n + D_n2 ); (1.41)

.........................

F _k = f (X ₁ + D_1k, X ₂ + D_2k,..., X _n + D_nk ).

Разложив равенства (1.41) в ряд Тейлора и ограничиваясь в виду малости ошибок измерений первыми степенями разложения, получим

F ₁ = f (X ₁, X _2,..., X _n ) +

(1.42)
................................

.

Учитывая, что истинная ошибка функции

,

получим систему случайных ошибок функций независимых величин

(1.43)

.......................

Возведя каждое равенство системы (1.43) в квадрат, просуммировав полученные значения и разделив их на k, придем к следующему уравнению:

(1.44)

В математической статистике доказывается следующая теорема [ 2 ]: “Среднее значение произведения случайных величин равно произведению средних значений сомножителей”

(1.45)

Согласно четвертому свойству случайных ошибок каждое из сомножителей равенства (1.45) стремится к нулю при неограниченном возрастании числа измерений. Поэтому можно утверждать, что и

(1.46)

Перейдем к средним квадратическим ошибка функции независимых величин, учитывая равенство (1.13), а также условие (1.46)
(1.47)

где m_l - cредние квадратические ошибки измеренных величин.

Если аргументы зависимы (коррелированы), то для средних значений произведений ошибок этих величин при k ® ¥ справедливо равенство [ 1 ]

(1.48)

где r_ij - коэффициент корреляции между зависимыми аргументами.
C учетом равенства (1.48) выражение (1.44) примет следующий вид (1.49)

Типовые примеры