Главная Случайная страница


Полезное:

Как сделать разговор полезным и приятным Как сделать объемную звезду своими руками Как сделать то, что делать не хочется? Как сделать погремушку Как сделать так чтобы женщины сами знакомились с вами Как сделать идею коммерческой Как сделать хорошую растяжку ног? Как сделать наш разум здоровым? Как сделать, чтобы люди обманывали меньше Вопрос 4. Как сделать так, чтобы вас уважали и ценили? Как сделать лучше себе и другим людям Как сделать свидание интересным?


Категории:

АрхитектураАстрономияБиологияГеографияГеологияИнформатикаИскусствоИсторияКулинарияКультураМаркетингМатематикаМедицинаМенеджментОхрана трудаПравоПроизводствоПсихологияРелигияСоциологияСпортТехникаФизикаФилософияХимияЭкологияЭкономикаЭлектроника






Механический смысл производной. Мгновенная скорость. Ускорение





 

Напомним, как определялась скорость движения в курсе физики. Рассмотрим самый простой случай: материальная точка движется по координатной прямой, причем задан закон движения, т. е. координата х этой точки есть известная функция х(t) времени t. За промежуток времени от t0) до t0) + Δt перемещение точки равно х (t0) + Δt) — х (t0)) = Δх, а ее средняя скорость такова:

При Δt<0 формула (1) также верна: перемещение равно х (t0))—x (t0)+Δt) = —Δх, а продолжительность промежутка времени равна -Δt.

Обычно характер движения бывает таким, что при малых Δt средняя скорость практически не меняется, т. е. движение с большой степенью точности можно считать равномерным (см. пример п. 13). Другими словами, значение средней скорости при Δt→0 стремится к некоторому вполне определенному значению, которое и называют мгновенной скоростью v (t0) материальной точки в момент времени to. Итак,


при

 

Но по определению производной


при

 

Поэтому считают, что мгновенная скорость v (t) определена (только) для любой дифференцируемой функции x(t), при этом


(2)

 

Коротко говорят: производная от координаты по времени есть скорость. В этом состоит механический смысл производной.

Мгновенная скорость может принимать как положительные, так и отрицательные значения и, конечно, значение 0. Если скорость на каком-либо промежутке времени (t1; t2) положительна, то точка движется в положительном направлении, т. е. координата растет с течением времени, а если v (t) отрицательна, то координата х (t) убывает.

Аналогичное положение и с ускорением движения. Скорость движения точки есть функция от времени t. А производная этой функции называется ускорением движения:


 

Коротко говорят: производная от скорости по времени есть ускорение.

Вопрос 20.

Признак возрастания (убывания) функции. Одна из основных задач исследования функции — это нахождение промежутков ее возрастания и убывания. Такое исследование легко провести с помощью производной. Сформулируем соответствующие утверждения. Достаточный признак возрастания функции. Если f’(х) > 0 в каждой точке интервала I, то функция f возрастает на I. Достаточный признак убывания функции. Если f’(х) < 0 в каждой точке интервала I, то функция f убывает на I. Доказательство этих признаков проводится на основании формулы Лагранжа (см. п. 19). Возьмем два любых числа х1 и x2 из интервала. Пусть x1<x2. По формуле Лагранжа существует число с∈(х1, x2), такое, что (1) Число с принадлежит интервалу I, так как точки х1 и x2 принадлежат I. Если f'(x)>0 для х∈I то f’(с)>0, и поэтому F(x1)<F(x2) — это следует из формулы (1), так как x2 — x1>0. Этим доказано возрастание функции f на I. Если же f’ (x)<0 для х∈I то f'(с)<0, и потому f(x1)>f (х2) — следует из формулы (1), так как x2—x1>0. Доказано убывание функции f на I. Наглядный смысл признаков ясен из физических рассуждений (рассмотрим для определенности признак возрастания). Пусть движущаяся по оси ординат точка в момент времени t имеет ординату y = f(t). Тогда скорость этой точки в момент времени t равна f'(t) (см. Мгновенная скорость). Если f’ (t)>0 в каждый момент времени из промежутка t, то точка движется в положительном направлении оси ординат, т. е. если t1 <t2, то f (t1)<f (t2). Это означает, что функция f возрастает на промежутке I. Замечание 1. Если функция f непрерывна в каком-либо из концов промежутка возрастания (убывания), то эту точку присоединяют к этому промежутку. Замечание 2. Для решения неравенств f' (х)>0 и f' (х)<0 удобно пользоваться обобщением метода интервалов (теоремой Дарбу): точки, в которых производная равна 0 или не существует, разбивают область определения функции f на промежутки, в каждом из которых f' сохраняет постоянный знак. (Этот факт доказывается в курсах математического анализа.) Знак можно определить, вычислив значение f' в какой-нибудь точке промежутка.

Вопрос 21.

Date: 2016-07-25; view: 493; Нарушение авторских прав; Помощь в написании работы --> СЮДА...



mydocx.ru - 2015-2024 year. (0.006 sec.) Все материалы представленные на сайте исключительно с целью ознакомления читателями и не преследуют коммерческих целей или нарушение авторских прав - Пожаловаться на публикацию