Сущность классического метода

1) Режим электрической цепи после коммутации характеризуется переменными токами и напряжениями и для описания электрической цепи могут применяться законы Кирхгофа для мгновенных значений.

или

2) Эта система уравнений Кирхгофа и уравнения элементов может быть преобразована к одному дифференциальному уравнению путем подстановки.

Пример:

Преобразовав эту систему, относительно :

-

постоянные коэффициенты, зависящие от состава элементов цепи и способов их соединения.

- линейная комбинация функций времени, определяющая закон изменения источников.

Таким образом, в любом случае первоначальная система уравнений преобразуется к одному дифференциальному уравнению с линейными коэффициентами. Порядок этого уравнения зависит от количества элементов L и C и способа их соединения. В общем, случае это уравнение неоднородное. Уравнения такого же вида можно было получить, преобразуя первоначальную систему относительно любой другой величины .

3) Общее решение неоднородного дифференциального уравнения складывается как сумма частного неоднородного дифференциального уравнения и общего решения однородного дифференциального уравнения.

, где - частное решение неоднородного дифференциального уравнения.

Частное – режим после коммутации (установившийся режим).

Общее – когда правая часть равна нулю (в цепи отсутствует источники) – свободный режим (реально не существует).

4) Установившиеся составляющие общего режима определяются из расчета соответствующего режима цепи.

определяется по правилам решений дифференциальных уравнений и ее вид зависит от корней характеристического уравнения.

, где ,

- оператор дифференциального уравнения.

5) Результаты расчета переходного процесса являются один режим электрической цепи, который определяется из общего решения с помощью начальных условий. В качестве начальных условий используются законы коммутации.

Независимые Н.У.: токи индуктивности и напряжения на емкости, определяемые режимом коммутации (, и т.д.).

Зависимые Н.У.: и , которые находятся из законов Кирхгофа, описывающих цепь после коммутации с учетом независимых начальных условий.

Сущность классического метода заключается в интегрировании дифференциального уравнения цепи и в определении постоянных интегрирования с использованием законов коммутации.

Замечания:

1) Дифференциальное уравнение для данной электрической цепи может содержать в качестве переменной любой другой параметр. В любом случае характеристическое уравнение будет одинаковым.

2) Рассмотренный классический метод с представлением установившейся и свободной составляющих применим только к линейным электрическим цепям.

3) Физически в электрической цепи существует только переходный режим, а разложение на установившуюся и свободную составляющие является математической абстракцией и облегчает процесс решения.

4) Для получения характеристического уравнения и определения вида свободной составляющей можно использовать следующий прием:

1) Изобразить заданную электрическую цепь в режиме после коммутации.

2) В этой электрической цепи заменить:

3) Из цепи исключить все источники. При этом источники напряжения закоротить, а источники тока выбросить со всеми последовательно соединенными элементами.

4) Полученную электрическую цепь разорвать в любом месте (можно относительно зажимов источника) и выразить эквивалентное сопротивление относительно точек разрыва, используя правило преобразования резистивных цепей.

5) Приравнять . Получим характеристическое уравнение

Пример:

Включение RL-цепи на постоянное напряжение.

Определить: .

1)

2) Вид

Характеристическое уравнение:

3) - общее решение.

4)

- по первому закону коммутации.

5)

1)

- постоянная времени переходного процесса.

2) При

3)

За переходной процесс можно считать завершенным.

3) Определяем по графику.

4, 2, 3 верны для всех остальных случаев.