Изображение синусоидальной функции комплексными числами

Для введения комплексного изображения перенесем радиус-вектор, изображающий синусоидальную функцию времени в декартовой плоскости на плоскость комплексных чисел. Для чего совместим ось с осью действительных чисел Re, а ось – с Im.

Любому вектору , расположенному на комплексной плоскости, однозначно соответствует комплексное число, которое может быть записано в трех формах:

o алгебраической: ;

o тригонометрической: ;

o показательной: ( – основание натурального логарифма).

Все три формы записи в соответствии с формулой Эйлера равнозначны:

.

Переход от одной формы записи к другой:

,

где – действительная часть;

– мнимая часть.

Запишем в трех формах выражение для единичных действительных и мнимых комплексных чисел ():

где , а .

где .

Отношение комплексной амплитуды напряжения к комплексной амплитуде тока называется комплексным сопротивлением:

.

Модуль комплексного сопротивления, называемый полным сопротивлением, равен отношению амплитуды напряжения к амплитуде тока, а аргумент комплексного сопротивления – разности начальных фаз напряжения и тока:

.

Закон Ома в комплексной форме соответственно для амплитудных и действительных значений:

.