айсыбір функционалдық кеңістіктердегі сызықтық функционалдардың жалпы түрі

1. n-өлшемді кеңістіктегі сызықтық функционалдар

кеңістігінде анықталған сызықтық функционал болсын. N- өлшемді кеңістігі берілсін

оның базисы болсын. Онда х үшін , (мұндағы х-тің координаталары) мынадай теңдікте табамыз.

Кері тұжырым: өрнегі (fi – кез келген сандар) кеңістігіндегі сызықтық функционал

Сонымен

өрнегі n – өлшемді кеңістігіндегі f сызықтың функционалдың жалпы түрін береді. Бұл теңдіктен f(x) функционалының нормасын жеңіл есептеуге болады

2. С[0,1] кеңістігіндегі сызықтық функционалдың жалпы түрі. Рисс теоремасы

С[0,1] кеңістігінде f(x) – сызықтық функционалы берілсін.C[0,1] кеңістігіндегі әрбір үзіліссіз функция шенелген. Сонымен қатар әрбір үзіліссіз x(t) C[0,1] функциясы ұшін

[0,1] кеңістігіндегі шенелген функциялардың кеңістігін М[0,1]деп белгілейік. С[0,1] кеістігін М[0,1] кеңістігінің ішкеңістігі деп қарастыруға болады және

C[0,1] кеңістігіндегі f(x) сызықтың функционалды нормасын сақтай отырып М[0,1] кеңістігіне жалғастыруға болады және оны біз f(x) белгілейік. Енді мынадай функция қарастырамыз

Бұл функция шенелген. Сондықтан

Енді біз функциясының анықтамасын пайдаланып жаңа

F[

Функциясын енгіземіз g(t) функциясының шенелген варияциялы функция болатынын дәлелдейміз. Ол үшін [0,1] кесіндісін

нүктелері арқылы n бөлікке бөлеміз. Енді осы нүктелерді пайдаланып

суммасын құрамыз және деп аламыз

сонда

=

Осы теңдіктен мына төмендегі теңсіздікті аламыз

және болғандықтан

Демек g(t) – шенелген варияциялы функция. Енді маңызды теорема – Ф. Рисс теоремасын дәлелджейміз

Теорема (Ф.Рисс) С[0,1]кеңістігінде берілген кез келген f(x) сызықтық функционал

F(x)=

Формуласы арқылы берілген Стильтьес интегралы арқылы анықталған шенелген варияциялы функция.

Дәлелдеу. [0,1] кесіндісінде анықталған үзіліссіз x(t) функциясын аламыз да сатылы функциясын құрамыз

Бұл теңдіктен

Сондықтан үзіліссіз функция үшін. Сондықтан f(x)= теорема толық дәлелденді.

Билет 1.

1. Метрикалық кеңістік және оның аксиомалары. Метрикалық кеңістікке мылдар, тізбек және оның жинақтылығы.

2. Сепарабельді метрикалық кеңістіктер. - сеперабельді метрикалық кеңістіктер.

Билет 2.

1. Сызықтық кеңістік және оның аксиомалары. Сызықтық кеңістіктегі векторлардың сызықтық тәуелділігі мен сызықтық тәуелсіздігі.

2. m шенелген тізбектердің метрикалық кеңістігі – сепарабельді метрикалық кеңістік емес.

Билет 3.

1. C[a,b] кеңістігі, оның метрикасы және элементтерінің жинақтылығы.

2. Сызықтық нормаланған кеңістік. Банах кеңістігі. Мысалдар.

Билет 4.

1. Оқшауланған нүктелер кеңістігі – метрикалық кеіңстік

2. Сызықтық нормаланған кеңістіктердегі жинақтылық

Билет 5.

1. Шенелген сандар тізбегінің метрикалық кеңістігі немесе m – метрикалық кеңістігі.

2. Сызықтық нормаланған кеңістіктің ішкеңістігі және оның қасиеттері.

Билет 6.

1. Жинақты сандар тізбегінің метрикалық кеңістігі (с кеңістігі)

2. Сызықтық нормаланған кеңістіктің изоморф болуы

Билет 7.

1. Гельдер теңсіздігі.

2. Сызықтық нормаланған кеңістіктердегі компакт жиындар.

Билет 8.

1. Миньковский теңсіздігі.

2. C[0,1] кеңістігіндегі жиынның компакт болу критерийі. Арцель теоремасы және оның жалпыламасы

Билет 9.

1. Гельдер және Минковскийдің интегралдық теңсіздіктері.

2. Абстракт гильберт кеңістігі. Ортогональдық қасиет.

Билет 10.

1. p – дәрежесінде интегралданатын функциялардың Lp(a,b) метрикалық кеңістігі.

2. Ортогональдық жүйелер. Шмидтің ортогонализациялау процесі.

Билет 11.

1. lp (p сан тізбектерінің метрикалық кеңістігі

2. Н гиьберт кеңістігінің элементінің ортогональ жү»е бойынша жәктелуі. Фурье коэффициенттері және Бессель теңсіздігі.

Билет 12.

1. Толық метрикалық кеңістіктер. Толық емес метрикалық кеңістік және оған мысал.

2. Сызықтық нормаланған кеңістіктегі сызықтық операторлар.

Билет 13.

1. m толық метрикалық кеңістіктер болатынын көрсетіңіз.

2. Сызықтық операторлар кеңістігі. Сызықтық оператордың шенелгендігі

Билет 14.

1. Қысылыңқы бейнелеу принципі. Банах теоремасы

2. Сызықтық оператордың үзіліссіздігі.

Билет 15.

1. Сызықтық алгебралық теңдеулер жүйесін шешудің итерациялық тәсілі.

2. Сызықтық оператордың нормасы.

Билет 16.

1. Интегралдық теңдеудің шешіәмінің бар және жалғыз болуы.

2. C[0,1] кеңістігіндегі интегралдық оператор және оның нормасы.

Билет 17.

1. Метрикалық кеңістіктегі фундаментальдық тізбек. Толық метрикалық кеңістіктер және оларға мысал.

2. Сызықтың функционал, оның қасиеттері. Гипержазықтық және оның қасиеттері.

Билет 18.

1. Рационал сандар метрикалық кеңістігі және оның толық емес екенін көрсетіңіз

2. өлшемді евклид кеңістігіндегі сызықтық функционалдық жалпы түрі.

Билет 19.

1. С[0,1] кеңістігіндегі сызықтық функционалдық жалпы түрі Рисс теоремасы.

2. Түйіндес кеңістіктер және оларға арналған мысалдар

Билет 20.

1. Гильберт кеңістігіндегі функционалдардың жалпы түрі.

2. Түйіндес операторлар және оларға арналған мысалдар.

Билет 21.

1.С[a,b] кеңістігі, оның метрикасы, элементтер жинақтылығы.

2. Сызықтық....................

Билет 22.

1. Оқшауланған нүктелер метрикалық кеңістігі.

2. Түзу бойында p(x,y)= функциясы берілсін. Метрика бола ма?

Билет 23.

1.

Есептер.

Билет 1.

1. операторы С[1,2] кеңістігін өзіне бейнелейді. Осы оператордың сызықты екенін дәлелдеңіз және оператордың норасын табыңыз.

.

операторы С[0,3] кеңістігін өзіне бейнелейді. Осы оператордың сызықты болатынын дәлелдеңіз және оның нормасын табыңыз.

Билет 3.

функционалының С[-1,1] кеңістігіндегі нормасын табыңыз.

Билет 4.

C[0,1] кеңістігінде сызықтық функционал болатынын көрсетеміз және оның нормасын табыңыз.

Билет 5.

C[a,b] кеңістігінде сызықтық функционал болатынын көрсетіңіз және оның нормасын табыңыз.

Билет 6.

кеңістігіндегі сызықтық функционалдық нормасы , ал оның (1,1) нүктесіндегі мәні -1 ге тең. Осы функционалдық (0,1) нүктесіндегі мәнін табыңыз.

Билет 7.

жазықтығында анықталған сызықтың функционалдық нормасы 4-ке тең, ал (2,1) нүктесіндегі мәні 5-ке тең. Осы функционалдық (1,1) нүктесіндегі мәнін табыңыз.

Билет 8.

C[0,2] кеңістігінде анықталған f(x)=x(0)-2x(1)+x(2) функционалының нормасын табыңыз.

Билет 9.

Түзу бойында p(x,y)= функциясы метрика бола ма?

Билет 10.

Түзу бойында p(x,y)= функциясы метрика болама?

Билет 11.

М жиынында p(x,y) метрика болса, онда p(x,y)=ln(1+p(x,y)) функциясы метрика болама?

Билет 12.

кеңістігінде x(t)= элементінің нормасын табыңыз.

Билет 13.

кеңістігінде және y=( элементтерінің арақашықтығын табыңыз.

Билет 14.

нольге жинақталатын тізбектер кеңістігінде элементінің нормасы.

Билет 15.

гильберт кеңістігінде x(t)=1 және y(t)=cost элементтерінің арасындағы бұрыш.

Билет 16.

функциясының кеңістігіне тиісті, ал кеңістігіне тиісті емес екенін көрсетіңіз.

Билет 17.

Lp[0,1] кеңістігінде - сызықтық функционал болатынын көрсетіңіз.

Билет 18.

C[0,2] кеңістігінде анықталған f(x)=x(0)-2x(1)+x(2) функционалының нормасын табыңыз.

Билет 19.

кеңістігінде x(t) элементтерінің арасындағы бұрыш.

Билет 20.

кеңістігінде x(t) элементтерінің скалярлық көбейтіндісін табыңыз.

Билет 21.

C[0,1] x(t)=t, y(t)= арақат

Билет 22.

C[0,1] метрикалық кеңістігінде x(t)=t, x(t)= арақашықтығын табыңыз

Билет 23.

C[-1,1] кеңістігінде y= элементінің нормасын табыңыз.

Билет 24.

C[-1,1] – де y= элементінің нормасын табыңыңыз.

Билет 25.

Түзу бойында p(x,y)= функ. Метрика болама?

Билет 1.

F(y)= y(1) операторы C[1,2] кеңістігін өзіне бейнелейді осы оператордың сызықты екенін дәлелдеңіз және оператордың нормасын табыңыз.

Шешуі.

F(y) – аддиттивтік оператор

F( болатыны түсінікті. енді оператордың нормасын табамыз

Бұдан

Билет 2.

Оператордың аддитивтігі: F( біртектектілігі

Енді оператордың нормасын табамыз.

демек

Билет 3.

Есептің шарты билетте. Бұл есептің шешуі оекциялар конспексінде бар (35 бет)

Билет 4.

Есептің шешуі. Функционалдық аддитивтігі.

Біртектілігі түсінікті. Енді функционалдық нормасын табамыз.

Осы амалдардан қарастырып отырған функционалдық сызықтық функционал екенін көреміз. Сонымен қатар теңсіздігінен теңсіздігі шығатыны айқын. Енді теңдігі орындалатынын көрсетеміз. Ол үшін шарттарын қанағаттандыратын функциялар тізбегін құрамыз. Графигі 1суртте келтірілген функциясын аламыз. Бұл суреттен F( болатыны көрініп тұр (штрихталған фигураның ауданы) демек .

Билет 5.

C кеңістігінде F(y)= сызықтың функционал болатынын көрсетіңіз және оның нормасын табыңыз

1) F(y) – аддитивтік функционал: F(

2) F(y) – біртекті ---- C(λy)=λF(y)

Енді оның нормасын табамыз

Билет 7.

Есептің шарты билетте.

Есептің шешуі кеңістігіндегі функционалдық жалпы түрі F(x)=

Есептің шарты бойынша

Есепті шешу

теңдеулер жүйесінің шешeге келеді

1) сондықтан F(1,1)=9-13=-4

демек есептің екі шешуі бар 1) f(1,1)=-4 2) f(1,1)=2

Билет 6.

Есептің шарты билетте

Есептің шешуі. кеңістігіндегі функционалдың жалпы түрі

т/к F(0,1)

Есепті шешу үшін теңдеулер жүйесін шешеміз

Бұл жүйеден жүйені табамыз

Бұдан

Билет 8.

C[0,2] кеңістігінде анықталған f(x)=x(0)-2x(1)+x(2) функционалының нормасын табыңыз

Шешуі функционалдың нормасы

осы формуланы пайдаланып

Билет 9.

Түзу бойында p(x,y)= функциясы метрика болама?

Есептің шешуі. 1) p(x,y) . Енді метриканың аксиомаларының орындалуын тексереміз.

1) егер x=y онда p(x,y)= немесе arctgx=arctgy x өспелі болғандықтан arctgx=argtgy x=y тепе теңдік

Демек аксиомасы орындалады.

2) Симметрия аксиомасы орындалатынын оңай қөруге болады.

3) енді үшбұрыш аксиомасының орындалатынын тексереміз.

Z түзудің кез келген нүктесі болсын. Онда p(x,y)= демек p(x,y) – метрика

Билет 10.

Түзу бойында p(x,y)= функциясы метрика болама?

Есептің шешуі. Тепе – теңдік аксиомасын тексерейік. X=0, y= болсын. Онда p(0, = - бұдан тепе – теңдік аксиомасының орындалмайтын көреміз. Демек - метрика емес.

Билет 11.

М жиынында p(x,y) метрика болса, онда функциясы метрика болама?

Есептің шешуі. Есепті шешу үшін функциясы үшін метрикалық кеңістіктің аксиомаларыныың орындалатыны (немесе орындалмайтынын) тексереміз

1. тепе теңдік аксиомасы: x=y p(x,y)=0

x=y болса, онда себебі p(x,y) – метрика

2. Симметрия аксиомасы

3. Енді үшбұрыш аксиомасын тексереміз:

сонымен үшбұрыш аксиомасы да орындалады. Демек метрика

Билет 12.

кеңістігінде x(t)= элементінің нормасын табыңыз.

Шешуі элементінің

Билет 14

нольге жинақталатын тізбектер ркеңістігінде x(k)=

Элементінің нормасын табыңыз

Шешуі

Билет 13

Элементтерінің арақашықтығын табыңыз.

Шешуі. кеңістігінде екі элементтің арақашықтығы мына теңдік бойынша анықталады

P(x,y)=

Бізге берілген элементтер үшін

Билет 15.

гильберт кеңістігінде x(t)=1 және y(t)=cost элементтерінің арасындағы бұрышты табыңыз

Шешуі x(t) және y(t)=cost элементтерінің арасындағы бұрышты табу үшін олардың скалярлық көбейтіндісін табамыз

=0-0

Демек x(t)=1 және y(t)=cost элементтері ортогональ немесе олардың арасындағы бұрыш болады

Билет 16.

функциясының кеңістігіне тиісті, ал кеңістігіне тиісті емеес екенін көрсетіңіз.

Шешуі. ал

меншіксіз интеграл

Демек

Билет 17

Lp [0,1] кеңістігінде f(x)= сызықтық функционал болатынын көрсетеміз

Шешуі интегралын жоғарыдан бағалайық. Гельдер теңсіздігін пайдаланып мына теңсіздікті табамыз

Демек f(x) –шенелген, оның аддитивтігін және біртектілігін жеңіл көруге болады. Сонымен бұл – сызықтық функционал

Билет 18.

Бұл билеттің есебі билет 8 есебімен бірдей

Билет 19

Н= ] кеңістігінде x(t) элементтерінің арасындағы бұрышты табыңыз

Шешуі. Алдымен x(t)=1 және y(t)=t элементтерінің скалярлық көбейтіндісін табамыз

Енді бұл функциялардың нормаларын табамыз

Билет 20

Н= кеңістігінде x(t)=1 және y(t)=cosnt элементтерінің скаляр көбейтіндісін табыңыз

Шешуі:

Жауап. X(t)=1, y(t)=cosnt элементтерінің скаляр көбейтіндісі 0-ге тең.

Билет 21

C [0,1] метрикалық кеңістігінің x(t)=t және y(t)= элементтерінің арақашықтығын табыңыз, немесе p(t, 2)= табыңыз.

Есептің шешуі. P(t, қашықтығын табу үшін функциясын [0,1] кесіндісінде экстремумға зерттейміз.

Ол үшін табамыз.

нүктесі

Сонымен

Демек p(t,

Билет 22

Түзу бойында берілген p(x,y)=sin(x-y) функциясы метрика бола ма?

Есептің шешуі. Бұл сұраққа жауап беру үшін p(x,y)=sin(x-y) функциясы метрикалық кеңістіктің аксиомалары орындала ма, орындалмай ма? Соны тексереміз.

X=y бірақ

P(

Демек тепе теңдік аксиомасы орындалмайды.

Билет 23

Сызықтың нормаланған C[-1,1] кеңістігінде x(t)=- элементінің нормасын табыңыз

Есептің шешуі

ді табыңыз.

Ол үшін функциясын [-1,1] кесіндісінде экстремумға зерттейміз

=0 t=0

демек t=0- функцияның max нүктесі

Демек

Билет 24

Сызықтық нормаланған C[-1,1] кеістігінде y(t)

Элементтің нормасын табыңыз.

Есептің шешуі. функциясын экстремумге зерттейміз

– max нүктесі

сонымен

Билет 25

С[0,1] метрикалық кеңістігінің x(t)=1, y(t)= элементтерінің арақашықтығын табыңыз

Ол үшін фунгкциясы [0,1] кесіндісінде экстремумға зерттейміз

немесе t=

функциясының max нүктесі

P(x,y)=

Есеп толық шешілді.

Әдебиеттер

1. Л.А. Люстерник, В.И. Соболев

Краткий курс функционального анализа. Москва 1982.

2. В.А.Петров, Н.Я.Виленкин, М.И.Граев