Сызықтық нормаланған кеңістіктердегі сызықтық операторлар

Х және У – сызықтық нормаланған кеңістіктер болсын Х кеңістігінде анықталған және мәндерін У кеңістігінде қабылдайтын у=A(x) операторын қарастырамыз. Y=A(x) операторы мынадай шарттарды қанағаттандырсын:

1) Аддитивтік немесе

2) Біртектілік немесе және нақты саны λ саны үшін

Осы жағдайда y=A(x) сызықтық оператор деп аталады. Бұдан былай A(x)-ті Ax деп жазамыз және сызықтық үзіліссіз операторларды қарастырамыз.

орындалсын және х-нүктесінің қайсыбір аймағы болсын, y=Ax нүктесінің аймағы белгілейік.

Анықтама. Егер үшін табылып A(ux) орындалса онда y=Ax x-нүктесінде үзіліссіз оператор деп аталады.

Х кеңістігін У кеңістініне бейнелейтін барлық сызықтық үзіліссіз операторлардың жиынын L(x,y) деп белгілейміз

Енді сызықтық үзіліссіз операторға мысал келтіреміз

1.а)

Функциясын қарастырайық. Мұндағы K(t,s) 0 , 0 квадратында анықталған үзіліссіз функция. Егер

X(t)

Сондықтан у=Ax операторы C[0,1] кеңістігін өзіне-өзін бейнелейді. Енді А – сызықтық, үзіліссіз оператор екенін көрсетеміз

А) А

демек Ах – аддитивтік оператор

Б) А операторын біртектілігін жеңіл байқауға болады

В) тізбегі x(t)- ға C[0,1] кеңістігінің метрикасы бойынша жинақталсын, немесе бірқалыпты, сондықтан

Немесе Сонымен А операторының үзіліссіздігі дәлелденді. Демек А операторы – сызықтық үзіліссіз оператор