Сызықтық функциялар

Мәндері сан болатын операторды функционал деп атаймыз. Демек функционал – оператордың дербес түрі, сондықтан функионалдар үшін оператордың көптеген қасиеттеі сақталады.

Х сызықтық кеңістігінде анықталған f(x) функционалы мынадай шарттарды қанағаттандырсын

1) f(

Мұндағы Осындай шарттарды қанағаттандыратын f(x)-ті сызықтық функционал деп атаймыз. Мынадай теоремалар орындалады

Теорема1. Х сызықтық нормаланған кеңістікте анықталған аддитивтік (функционал бір нүктесінде үзіліссіз болса онда ол барлық Х кеңістігінде бірқалыпты үзіліссіз.

Теорема2. Х сызықтық нормаланған кеңістігінде анықталған аддитивтік және үзіліссіз F функционалы біртекті болады.

Теорема3. Х СНК-де анықталған аддитивтік және біртекті функционалдық үзіліссіз болуы үшін оның

Шенелген болуы қажет және жеткілікті. Осы келтірілген теңсіздіктегі ең кіші М саны f функционалының нормасы деп аталады және деп белгіленеді. Сонымен

Сонымен қатар

Енді бір мысал қарастырайық

Мысал 1. Х болсын. Онда сызықтық функционал. Шешуі интегралын жоғарыдан бағалайық. Гельдер теңсіздігін пайдаланып мына теңдікті табамыз

Бұл теңсіздіктен f(x)-тің шенелгені шығады. Оның аддитивтігі жеңіл көрініп тұр. Гипержазықтық және оның қасиеттері.

Х – сызықтық кеңістік, f(x) осы кеңістікте анықталған сызықтық функционал. F(x)=c теңдігін қанаттандыратын Х кеңістігінің нүктелері гипержазықтық деп аталады.

Гипержазықтықтардың ішіндегі ең маңыздысы f(x)= . Ол шарына тірек болады.