Сызықтық нормаланған кеңістіктегі сызықтық операторлардың үзіліссіздігі және шенелгендігі

Х және У сызықтық нормаланған кеңістіктер болсын. А – Х кеңістігін У кеңістігіне бейнелейтін сызықтық оператор болсын. Х және У кеңістіктеріндегі жинақтылық норма бойынша анықталады. Сондықтан А операторының үзіліссіздігі

Өрнетері бойынша анықталады

Олператордың шенелгендігі

Егер үшін М тұрақты саны табылып

Теңсіздігі орындалса, онда А- шенелген оператор деп аталады. (соңғы келтірілген теңсіздіктегі Х кеңістігінің, а У кеістігінің нормалары бойынша анықталған.)

Осы анықтама бойынша А сызықтық шенелген операторы шенелген жиынын шенелген жиынына бейнелейді.

Енді біз сызықтық операторар теориясының өте бір маңызды теориясын дәлелдейміз.

Теорема. А аддитивтік және біртекті операторының үзіліссіз болуы үшін оның шенелген болуы қажет және жеткілікті

Қажеттілігі: А – үзіліссіз оператор болсын. Ол шенелген деп ұйғарайық. Онда элементтер тізбегі табылып

теңсіздігі орындалады. Соңғы теңсіздікті пайдаланып

Элементтер тізбегін құрамыз

Демек . Енді басқа жағынан қарасақ

Демек Сондықтан нольдік нүктеде А операторы үзілісті. Бүл біздің А-үзіліссіз оператор деген ұйғарымға қайшы. Демек бізді ұйғарым (шенелген деген) дұрыс емес. Яғни А операторы шенелген.

Жеткіліктігі: А – аддитивік операторы шенелген болсын немесе үшін

онда

Демек сондықтан А – үзіліссіз оператор. теорема толық дәлелденді.