Математическое описание процессов преобразования энергии в асинхронных машинах

= wr

= wr

(рисунок 3.2).

Рисунок 3.2. Модель идеализированной асинхронной машины

Уравнения асинхронной машины, получаются из уравнений обобщенной машины. Для неподвижного относительно статора наблюдателя в системе координат a, b

= ur

= 0 имеют следующий вид:

d × Lsdt

d × M 0 0

= dt

ra +

La

dt

w × Lr

r d r

w × M r

(3.3)

b

- w × L

rb +

× Lb × M b

dt dt is

r s +

d × Ls b

M = m M (is × ir - is × ir),

(3.4)

эм 2

b a a a

где

us,

us,

is,

is,

ir, s

соответственно напряжения и токи в обмотках статора и

rs,

rs,

rr,

rr — активные сопротивления обмоток статора и

Ls,

Ls,

Lr,

Lr, — полные индуктивности

где М — взаимная индуктивность между обмотками статора и ротора по осям a и b,

Ls — индуктивность рассеяния обмотки статора.

Уравнения (3.3) и (3.4) описывают процессы преобразования энергии в асинхронных машинах в переходных и установившихся режимах.

Уравнения напряжения в непреобразованной записи выглядят следующим образом:

us = r s × i s + Ls

di s

+ M ×

dir ü

a; ï

a a a

a dt dt

ï

s r

i s

+ Ls ×

dib

dt

+ M ×

dib;

dt

s

ï

ïï

ý (3.5)

0 = r r × i r

+ Lr

dia

+ M × dia + w

Lr

i r + w

M × i s;ï

a a a dt

r

dt р b b р b ï

s ï

0 = r r × i r

+ Lr

di di

× b + M × b - w

Lr

i r - w

M × i s,ï

b b b dt

dt р a a р

a ïþ

Уравнения для неподвижных обмоток записываются так же, как для трансформаторов, а в напряжениях вращающихся обмоток есть трансформаторные ЭДС и ЭДС вращения

× ir

+ w × M × is;

× ir - w

M × is.

Уравнения (3.3) — (3.4) записаны для псевдонеподвижных обмоток ротора при условии сохранения тех же токов, потерь и реактивной мощности, что и в реальной вращающейся машине. Напряжения на обмотках статора и ротора машины уравновешиваются трансформаторными ЭДС и ЭДС вращения [см. (3.5)].

Дифференциальные уравнения (3.3) -(3.4) не имеют аналитического решения, так как содержат произведения переменных (3.4). Поэтому возможны приближенные решения, и для исследования этих уравнений широко применяются ЭВМ. Чтобы получить из дифференциальных уравнений асинхронной машины (3.3)-(3.4), комплексные уравнения, описывающие установившиеся режимы работы асинхронной

машины, надо заменить оператор дифференцирования

d dt «

jw Уравнения

напряжений асинхронной машины из (3.3) имеют следующий вид:

U s = r s × I s +

jw × Ls × I s +

jw × M × I r; ü

a a a a a a

ï

U s = r s × I s +

jw × Ls

I s +

jw × M × I r; ï

b b b b b b

ý (3.7)

0 = r r × I r +

jw × Lr × I r +

jw × M × I s + w

Lr

I r + w

M × I s; ï

a a a a

r r r r

a р b b р b

0 = rb

× Ib +

jw × Lb × Ib +

jw × M × Lb - wр × La × Ia

- w × M × I,þ

Уравнения напряжений и уравнение движения в установившемся режиме могут рассматриваться независимо друг от друга, поэтому проанализируем только уравнения напряжения.

Так как рассматривается симметричная машина, целесообразно параметры обмоток

статора обозначить

L = Ls

= Ls

и r = r s = r s, а ротора L

= Lr

= Lr

и r = rr

= rr.

s a b

s a b

r a b

r a b

Переходя в установившемся режиме к индуктивным сопротивлениям, получаем

jw × M +

jw × M +

jw × Ls;

(3.8)

где

Ls 1

— индуктивность рассеяния первичной обмотки, соответствующая потоку

рассеяния

F s 1;

w × Ls 1

— индуктивное сопротивление рассеяния первичной обмотки;

w × M

— индуктивное сопротивление взаимной индукции.

Индуктивное сопротивление вторичной обмотки

где

w × L

и w × L

—полные индуктивные сопротивления обмоток статора и ротора;

— индуктивное сопротивление взаимной индукции;

x = w × Ls,

От четырех уравнений напряжений (3.7) при анализе установившихся процессов в асинхронной машине можно перейти к двум, если обратиться к обобщающим векторам напряжений, токов и сопротивлений. Введя обозначения для

результирующих векторов напряжений статора

Us, токов Is

и Ir, а также для

сопротивлений

Rs, Rr

и индуктивностей

Ls,

Lr, из (3.7) получим

Us = Rs × Is +

jw × L × I +

jw × M × I;

ü

jw × L × I +

jw × M × I -

j × w × L × I -

j × w × M × I;þ

Считая, что мощность в асинхронном двигателе передается от обмотки статора к

x = w × M,

x = w × Ls,

x = w × Lr

относительная

v = w

w, имеем

Us = Rs × Is +

j × xs × Is +

j × x 0× Is +

j × x 0× Ir; ü

ï

0 = - Rr × Ir -

j × xr × Ir - j × x 0× Is -

j × x 0× Ir +ý

ï

(3.10)

+ j × v × xr × Ir +

j × v × x 0× Is +

j × v × x 0× Ir. þ

 

Вводя замену переменных

I 0.= Is + Ir, из (3.10) получаем

Us = Rs × Is +

j × xs × Is +

j × x 0× I 0 r; ü

ý

(3.11)

0 = - Rr × Ir -

j × (1- v) × xr × Ir -

j × (1- v) × x 0 × I 0.þ

Используя в (3.11) выражение для скольжения

s = (w

- w) w

= 1- v.,находим

Us = Rs × Is +

j × xs × Is +

j × x 0 × I 0 r; ü

ý

(3.12)

0 = - Rr × Ir -

j × s × xr × Ir -

j × s × x 0 × I 0.þ



Далее, вводя ЭДС при холостом ходе

асинхронной машины в следующем виде:

E 0= - j × x 0× I 0, переходим к уравнениям

Us = - E 0+ Rs × Is +

j × xs × Is; ü

ï

0 = E 0 × s - Rr × Ir -

I 0= Is + Ir.

j × s × xr × Ir;ý

ï

þ

(3.13)

Электродвижущая сила

E 0, или, как ее иногда называют, противо-ЭДС,

уравновешивает напряжение сети. Когда машина подключена к сети при нагрузке на валу, равной нулю, Us» E 0и в обмотках машины токи близки к нулю.

При дальнейшем рассмотрении теории установившихся режимов асинхронной машины целесообразно пользоваться сопротивлениями статора и ротора

zs = Rs + jxs;

zr = Rr +

jxr.

Поделив второе уравнение в (3.13) на s, получим уравнения асинхронной машины

Us = - E 0+ zs × Is; ü

ï

Rr ï

0 = E 0 -

s

Ir -

j × xr × Ir;ý

ï

(3.14)

I 0 = Is + Ir. ïþ

Так как

Rr

= Rr

s

+ Rr

1- s

s

, то подставив это выражение в (3.14), получим уравнения

асинхронной машины, похожие на уравнения трансформатора:

Us = - E 0+ zs × Is; ü

ï

0 = E 0

-

- Rr

1 - s ï

(3.15)

s ï

I 0 = Is + Ir. ïþ

Уравнения (3.15) описывают процессы электромеханического преобразования энергии в асинхронных машинах в установившихся режимах. Для них предложены векторные диаграммы, круговые диаграммы и схемы замещения асинхронных машин. По уравнениям (3.15) теория асинхронной машины рассматривается как теория трансформатора, во вторичную обмотку которого вводится активное сопротивление

1- s

R. Активная мощность, которая выделяется на этом сопротивлении,

r s

пропорциональна полезной мощности на валу машины.

Билет №13

Date: 2016-07-22; view: 421; Нарушение авторских прав