Лекция 11 Основы теории комплексных чисел

( Тема 4.1. )

План лекции

Понятие комплексного числа.

Изображение на плоскости и операции над комплексными числами.

Алгебраическая показательная и тригонометрическая форма комплексного числа.

Определение: комплексным числом будем называть упорядоченную пару чисел (a; b), упорядоченную в том смысле, что нам известно, какое из чисел первое, а какое второе.

Число (а, 0) = а является вещественным или действительным числом а.

Равенство двух комплексных чисел (a, b) = (c, d) означает, что .

Для комплексных чисел вводится операция сложения по следующему правилу:

(a, b) + (c, d) = (a+ c, b+ d).

Для операции сложения комплексных чисел справедливы следующие свойства:

1. От перестановки слагаемых сумма не меняется: (a, b) + (c, d) = (c, d) + (a, b)

2. Для операции сложения выполняется сочетательный закон: .

Для комплексных чисел вводится операция вычитания, как операция, обратная к сложению, а именно: разностью комплексных чисел (a, b) и (c, d) называется комплексное число (х, у), которое после сложения с числом (c, d) дает число (a, b).

(a, b) – (c, d) = (x, y); (x, y) + (c, d) = (a, b) – выполним сложение: (x+ c, y+ d) = (a, b)

. Таким образом: (a, b) – (c, d) = (a– c, b– d).

Для комплексных чисел вводится операция умножения по следующему правилу:

.

Для операции умножения выполняются следующие свойства:

1. Произведение не зависит от порядка сомножителей: .

2. Выполняется сочетательный закон: .

3. Выполняется сочетательный закон: .

Утверждение: если известно, что , причем , то (a, b) = (0, 0).

Доказательство:

Для комплексных чисел вводится операция деления как операция, обратная по отношению к операции умножения, а именно: частным от деления комплексных чисел (a, b) и (c, d), где , называется комплексное число (х, у), такое, что его произведение с числом (c, d) дает число (a, b).

Нетрудно показать, что частное находится по следующему правилу:

Определение: комплексные числа (0, b) называются чисто мнимыми, обозначаются: .

Любое комплексное число может быть представлено в следующей форме: .

Доказательство: .

Число , которое называется мнимой единицей, мы получаем при b= 1, , .