Свойства двойного интеграла.

1)

2)

3) Если D = D₁ + D₂, то

4) Теорема о среднем. Двойной интеграл от функции f(x, y) равен произведению значения этой функции в некоторой точке области интегрирования на площадь области интегрирования.

5) Если f(x, y) ³ 0 в области D, то .

6) Если f₁(x, y) £ f₂(x, y), то .

7) .

Вычисление двойного интеграла

Теорема Если функция f(x, y) непрерывна в замкнутой области D, ограниченной линиями х = a, x = b, (a < b), y = j(x), y = y(x), где j и y - непрерывные функции и

j £ y, тогда

y y = y(x)

D

y = j(x)

a b x

Пример Вычислить интеграл , если область D ограничена линиями: y = 0, y = x², x = 2.

y

D

0 2 x

=

Теорема Если функция f(x, y) непрерывна в замкнутой области D, ограниченной линиями y = c, y = d (c < d), x = F(y), x = Y(y) (F(y) £ Y(y)), то

Пример Вычислить интеграл , если область D ограничена линиями y = x, x = 0, y = 1, y = 2. y

1 y = x

0 x

Пример Вычислить интеграл , если область интегрирования D ограничена линиями х = 0, х = у², у = 2.

=

=

Пример Вычислить двойной интеграл , если область интегрирования ограничена линиями ху=1, у = , х = 2.

1.

2.

3.