Интегрирование по частям.

Справедлива следующая формула:

Замечание: для запоминания удобнее следующая символическая запись:

Доказательство:

. Найдем неопределённый интеграл от правой и левой части равенства: . По одному из свойств можно заменить левую часть на . Произвольную постоянную можно не писать в равенстве до тех пор, пока есть хотя бы один знак неопределённого интеграла. Неопределённый интеграл всегда содержит произвольную постоянную, а от сложения любого числа произвольных постоянных снова получится произвольная постоянная.

из этого равенства выразим:

Замечание:

1) Формулу интегрирования по частям имен смысл применять в тех случаях, когда интеграл в правой части формулы проще исходного.

2) Подынтегральное выражение разбивается на произведение двух частей; одна из них ‘U’, как правило, упрощается после взятия производной. Оставшаяся часть ‘dV’, не усложняется после интегрирования.

Пример:

Замечание:

1) Часто формулу интегрирования по частям необходимо применять многократно.

2) Часто помогают следующие рекомендации: