Свойства определенного интеграла.

1) - это свойство считается по определению.

2) - по определению.

3) Определенный интеграл не зависит от обозначения переменной интегрирования, т.е. .

4) если эти интегралы существуют.

Доказательство:

1. Пусть a < c < b. Выберем разбиение отрезка [a; b] таким образом, чтобы точка с всегда попадала в это разбиение, тогда

где: берется по всем промежуткам, находящимся левее точки с, а - по всем промежуткам, находящимся правее точки с

2. Пусть a < b < c

5) Определенный интеграл от суммы и разности функций равен соответственно сумме или разности интегралов этих функций, если они существуют, т.е.

. Это свойство вытекает из того, что предел суммы или разности равен соответственно сумме или разности пределов.

6) Постоянный множитель можно выносить за знак определенного интеграла.

. Это свойство вытекает из того, что постоянный множитель можно выносить за знак предела.

7) Пусть на промежутке [a; b] между функциями и выполнено неравенство: , тогда такое же неравенство будет выполнено между определенными интегралами этих функций по промежутку [a; b] .

Доказательство: , тогда, по теореме о предельном переходе в неравенствах получаем, что предел больше или равен нуля.

Теорема о среднем.

Пусть на промежутке [a; b] имеется функция и, функция определена и сохраняет знак на промежутке [a; b], тогда внутри промежутка [a; b] найдется такая точка х₀, что будет выполнено следующее неравенство: .

Доказательство:

1) ≥ 0, тогда поскольку функция непрерывна, то из теоремы Вейерштрасса вытекает, что она принимает на промежутке [a; b] свое наибольшее и наименьшее значения, т.е. .

Тогда, домножая на неотрицательную функцию , получим:

Используя свойство №7 получим:

Дальше возможны два случая:

а) , тогда утверждение теоремы вытекает из неравенства (*).

б) Пусть , тогда разделим на этот интеграл неравенство (*)

, но тогда, по второй теореме Коши о непрерывных функциях, в какой-то точке х₀ значение функции в точности равно , т.е.

2) < 0

записывая теорему о среднем для функции - и затем убирая знак (-) получаем, что доказан и этот случай.

Следствие: пусть =1, тогда