Полезное:
Как сделать разговор полезным и приятным
Как сделать объемную звезду своими руками
Как сделать то, что делать не хочется?
Как сделать погремушку
Как сделать так чтобы женщины сами знакомились с вами
Как сделать идею коммерческой
Как сделать хорошую растяжку ног?
Как сделать наш разум здоровым?
Как сделать, чтобы люди обманывали меньше
Вопрос 4. Как сделать так, чтобы вас уважали и ценили?
Как сделать лучше себе и другим людям
Как сделать свидание интересным?
Категории:
АрхитектураАстрономияБиологияГеографияГеологияИнформатикаИскусствоИсторияКулинарияКультураМаркетингМатематикаМедицинаМенеджментОхрана трудаПравоПроизводствоПсихологияРелигияСоциологияСпортТехникаФизикаФилософияХимияЭкологияЭкономикаЭлектроника
Свойства определенного интеграла.
|
|
1) 
- это свойство считается по определению.
2) 
- по определению.
3) Определенный интеграл не зависит от обозначения переменной интегрирования, т.е. 
.
4) 
если эти интегралы существуют.
Доказательство:
1. Пусть a < c < b. Выберем разбиение отрезка [a; b] таким образом, чтобы точка с всегда попадала в это разбиение, тогда
где: 
берется по всем промежуткам, находящимся левее точки с, а 
- по всем промежуткам, находящимся правее точки с
2. Пусть a < b < c
5) Определенный интеграл от суммы и разности функций равен соответственно сумме или разности интегралов этих функций, если они существуют, т.е.
. Это свойство вытекает из того, что предел суммы или разности равен соответственно сумме или разности пределов.
6) Постоянный множитель можно выносить за знак определенного интеграла.
. Это свойство вытекает из того, что постоянный множитель можно выносить за знак предела.
7) Пусть на промежутке [a; b] между функциями 
и 
выполнено неравенство: 
, тогда такое же неравенство будет выполнено между определенными интегралами этих функций по промежутку [a; b] 
.
Доказательство: 
, тогда, по теореме о предельном переходе в неравенствах получаем, что предел больше или равен нуля.
Теорема о среднем.
Пусть на промежутке [a; b] имеется функция и, функция определена и сохраняет знак на промежутке [a; b], тогда внутри промежутка [a; b] найдется такая точка х0, что будет выполнено следующее неравенство: 
.
Доказательство:
1) ≥ 0, тогда поскольку функция непрерывна, то из теоремы Вейерштрасса вытекает, что она принимает на промежутке [a; b] свое наибольшее и наименьшее значения, т.е. 
.
Тогда, домножая на неотрицательную функцию , получим: 
Используя свойство №7 получим: 
Дальше возможны два случая:
а) 
, тогда утверждение теоремы вытекает из неравенства (*).
б) Пусть 
, тогда разделим на этот интеграл неравенство (*)
, но тогда, по второй теореме Коши о непрерывных функциях, в какой-то точке х0 значение функции в точности равно , т.е. 
2) < 0
записывая теорему о среднем для функции - и затем убирая знак (-) получаем, что доказан и этот случай.
Следствие: пусть =1, тогда 
Date: 2016-07-18; view: 304; Нарушение авторских прав