Полезное:
Как сделать разговор полезным и приятным
Как сделать объемную звезду своими руками
Как сделать то, что делать не хочется?
Как сделать погремушку
Как сделать так чтобы женщины сами знакомились с вами
Как сделать идею коммерческой
Как сделать хорошую растяжку ног?
Как сделать наш разум здоровым?
Как сделать, чтобы люди обманывали меньше
Вопрос 4. Как сделать так, чтобы вас уважали и ценили?
Как сделать лучше себе и другим людям
Как сделать свидание интересным?
Категории:
АрхитектураАстрономияБиологияГеографияГеологияИнформатикаИскусствоИсторияКулинарияКультураМаркетингМатематикаМедицинаМенеджментОхрана трудаПравоПроизводствоПсихологияРелигияСоциологияСпортТехникаФизикаФилософияХимияЭкологияЭкономикаЭлектроника
|
Связь между бесконечно малыми и бесконечно большими величинамиТеорема: Если функция α(x) есть бесконечно малая величина при (при ), то функция является бесконечно большой при (при ). И обратно, если функция f(x) бесконечно большая при (при ), то функция есть величина бесконечно малая при (при ). Раскрытие неопределённостей. Если при вычислении пределов получается отношение вида или , то сразу сказать чему равен предел нельзя. В этом случае говорят, что получена неопределённость вида или . Для раскрытия таких неопределённостей можно разложить числитель и знаменатель дроби на множители, разделить числитель и знаменатель дроби на переменную в наибольшей степени или применить замечательные пределы. Раскрытие неопределённостей вида сначала сводится к неопределённостям вида или . Односторонние пределы Определение: число А+ будем называть правым односторонним пределом функции f (x), если для любого, сколь угодно малого, e > 0 найдется положительное число δ, такое, что как только выполнено неравенство 0 < x – a < δ (a < x < a + δ), так сразу f (x) попадает в эпсилон-окрестность числа А+, т.е.: Т.о.Число А называется правым пределом функции f(x) в точке а, если такое, что для каждого х, удовлетворяющего условию верно неравенство │ Обозначается: Аналогично определяется левый односторонний предел: и в этом случае неравенство будет иметь вид: 0 < а – х < δ (a – δ < x < a). Число А называется левым пределом функции f(x) в точке а, если такое, что для каждого х, удовлетворяющего условию верно неравенство │ Обозначается: Eсли x® a и при этом x > a, то пишут x® a+0. Если, в частности, a=0, то вместо символа 0+0 пишут +0. Аналогично если x®a и при этом x<a, то пишут x®a-0. Числа и называются соответственно пределом справа и пределом слева функции f(x) в точке а. Для существования предела функции f(x) при x®a необходимо и достаточно, чтобы = . Непрерывность функции. Определение 1. Функция называется непрерывной в точке х0 если: 1. Эта функция определена в некоторой окрестности точки х0. 2. Существует конечный предел при , т. е. 3. Определение 2. Функция называется непрерывной в точке х0, если она определена в этой точке и бесконечно малому приращению аргумента х, соответствует бесконечно малое приращение функции то есть Итак, функция f (x) называется непрерывной в точке а, если предел функции в этой точке равен значению функции в этой же точке, т.е.: Свойства функций непрерывных в точке. Если функции и непрерывны в точке х0, то: 1. их сумма (разность) (f (x) + g (x)), (f (x) – g (x)) является функцией непрерывной в точке х0 2. их произведение (f (x) × g (x))является функцией непрерывной в точке х0 3. их частное , при условии >0, является функцией непрерывной в точке х0 4. если функция непрерывна в точке u0, а функция непрерывна в точке х0, то сложная функция непрерывна в точке х0. Определение: Функция называется непрерывной на промежутке Х если она непрерывна в каждой точке этого промежутка. Теорема: всякая элементарная функция непрерывна в каждой точке своей области определения. Определение: пусть функция y = f (x) определена на промежутке [a; b] и принимает значения на промежутке [α; β], и пусть на промежутке [α; β] определена функция z = z (y), тогда будем говорить, что на промежутке [a; b] определена сложная функция z = z (f (x)). Пример: Теорема: если функция y = f (x) непрерывна в точке а, а функция z = z (f (x)) непрерывна в точке f (a), то сложная функция z = z (f (x)) будет непрерывной в точке а. Точки разрыва и их классификация Определение: Точка х0 называется точкой разрыва функции , если в данной точке х0 нарушается хотя бы одно условие непрерывности функции , а саму функцию называют при этом разрывной. Точки разрыва подразделяются на точки разрыва первого и второго рода. Точка х0 называется точкой разрыва первого рода функции , если в этой точке существуют конечные, но неравные между собой односторонние пределы ; . Точка х0 называется точкой устранимого разрыва для функции , если существует предел при , а сама функция в точке х0 либо не определена, либо не равно пределу . Разрыв можно устранить если функцию доопределить в точке х0 или изменить её значение следующим образом (сделать равными) . Пусть х0 - точка разрыва первого рода, тогда скачком функции в точке х0 называется разность односторонних пределов. Чтобы найти значение скачка надо от значения правого предела вычесть значение левого предела. Точки устранимого разрыва и точки скачка являются точками разрыва 1-го рода. Точка х0 называется точкой разрыва второго рода (точкой бесконечного разрыва)функции если в этой точке не существует хотя бы один конечный односторонний предел слева или справа. Свойства функций непрерывных на отрезке. Функция называется непрерывной на отрезке [ a,b ] если она непрерывна на интервале (a,b) и, кроме того в точке a -непрерывна слева, а в точке b -справа. Теорема Вейерштрасса: Если функция непрерывна на отрезке [ a,b ], то на отрезке [ a,b ] она достигает своего наибольшего и наименьшего значения, то есть существуют такие точки х1 и х2 , что для всех x выполняются неравенства и (x1 - максимум, x2 - минимум). Пусть функция f (x) определена и непрерывна на замкнутом промежутке [a; b], тогда на этом промежутке она достигает свои наибольшее и наименьшее значения, т.е.: ; f (x1) = m; f (x2) = M. Теорема Больцано-Коши: Если непрерывна на отрезке [ a,b ] и на концах его принимает различные значения, то между точками a и b найдется точка с, такая что Пусть функция f (x) определена и непрерывна на замкнутом промежутке [a; b], т.е.: f (x) Î C [a; b] и пусть на концах этого промежутка она принимает значения разных знаков (f (a) × f (b) < 0), тогда внутри промежутка [a; b] существует точка С, в которой функция обращается в ноль: f (a) × f (b) < 0 Þ $ с Î (a; b): f (c)=0 f (a) × f (b) < 0; f (c)=0 Таких точек (С) в принципе может быть несколько. Теорема Коши гарантирует, что есть хотя бы одна. Замечание: на первой теореме Коши основан один из приближенных методов решения алгебраических уравнений, а именно метод половинного деления (дихатомии). Пусть нам известно, что не промежутке (a; b) уравнение f (x) = 0. в качестве первого приближенного значения корня берут середину этого отрезка: Точность, с которой найден корень, равна половине ширины отрезка (a; b), обозначается δ. 2) на втором шаге выбирают в два раза меньший отрезок, на концах которого функция принимает значения разных знаков. Обозначают его границы a1; b1, и в качестве второго приближенного значения корня берут его середину: И так далее. На n-м шаге получим n-е приближенное значения корня: Теорема Коши: Пусть непрерывна на отрезке [ a,b ] и , , тогда найдется для любого числа С, заключенного между числами А и В, внутри отрезка АВ () такая точка С, что Если функция f (x) определена и непрерывна на замкнутом промежутке [a; b] и принимает на концах этого промежутка разные значения, т.е. f (a) ≠ f (b), то для любого числа γ между числами f (a) и f (b) найдется (внутри промежутка (a; b)) точка С, такая, что функция в этой точке равна γ, т.е. Следствие из теорем Коши и Вейерштрасса: Если f (x) непрерывна на замкнутом отрезке [a; b], то ее значения сплошь заполняют некоторый замкнутый промежуток. Замечание: графики непрерывных функций на координатной плоскости являются непрерывными кривыми, т.е. их можно нарисовать не отрывая карандаш от листа бумаги.
Лекция 8 Дифференциальное исчисление функции одной переменной ( Тема 3.2.) План лекции Определение производной её геометрический и физический смысл. Производные элементарных функций. Производная сложной функции, дифференциал функции. Производные и дифференциалы высших порядков. Исследование функций с помощью дифференциального исчисления.
Понятие производной Определение. Производной функции в точке называется предел отношения приращения функции в этой точке к приращению аргумента при (при условии, что этот предел существует). Производная обозначается или Итак, по определению, . Нахождение производной называется дифференцированием функции. Исходя из определения, составить, опираясь на рассуждения студентов, алгоритм отыскания производной. Пусть функция у = f (x) определена в точке х0 и во всех точках, достаточно близких в точке х0, т.е. в некоторой окрестности точки х0. тогда выберем приращение аргумента ∆х такое, что х0 + ∆х не выходит за пределы этой окрестности. Тогда составим и вычислим предел отношения приращения функции к приращению аргумента при условии ∆х→ 0. Если этот предел имеет конечное значение, то он называется производной функции f (x) в точке х0 , т.е. Для производной используются также другие обозначения: Теорема: если функция у = f (x) имеет производную в точке х0 , то она непрерывна в этой точке (обратное утверждение в общем случае неверно). Геометрический смысл производной функции f (x) в точке х0 состоит в том. Что она равна тангенсу угла наклона (т.е. угловому коэффициенту) касательной, проведенной в этой же точке. Понятие производной впервые ввели: Ньютон, исходя из задач механики, и Лейбниц, исходя из геометрических построений, которые мы только что рассмотрели. Уравнение касательной и нормали к кривой. Касательная проходит через точку с координатами (х0; f(х0)) и имеет угловой коэффициент , тогда получим следующее уравнение касательной: Нормалью к кривой будем называть прямую линию, проходящую через точку касания перпендикулярно касательной (смотри рис.1). Нормаль проходит через ту же самую точку с координатами (х0; f(х0)), угловой коэффициент нормали: . Получим уравнение: Обозначим угол наклона секущей через β. Тогда: . Устремим ∆х к нулю, тогда секущая превратиться в касательную, проведенную к кривой в точке х0. угол наклона касательной обозначим через a. Получим: ∆х→ 0
Пример Используя определение производной, найти производную функции в точке .Решение. Придавая аргументу в точке приращения , найдем соответствующее приращение функции: Составим соотношение .Найдем предел этого отношения при Следовательно, производная функции в точке равна числу 2 , что в принятых обозначениях можно записать так: Вычисление производных Основные формулы дифференцирования:
Правила дифференцирования:1) 2) 3) 4) 5) правило дифференцирования сложной функции: , тогда: . Производная сложной функции равна произведению производной внешней функции по ее аргументу на производную внутренней функции. Геометрически производная представляет собой угловой коэффициент касательной к графику функции y = f(x) в точке x, т. е. y / = tg a. Производная есть скорость изменения функции в точке x. Пример Используя правила и формулы дифференцирования, найти производные функции: . Решение: . Пример Используя правила и формулы дифференцирования, найти производные функции: Решение. Производные высших порядков Пусть мы нашли для функции y=f(x) ее производную y ¢= f ¢(x). Производная от этой производной называется производной второго порядка функции f(x), или второй производной, и обозначается . Аналогично определяются и обозначаются: производная третьего порядка - , производная четвертого порядка - и вообще производная n-го порядка - . Понятие дифференциала Пусть функция определена в точке х0 и некоторой ее окрестности. Определение: дифференциалом независимой переменной х будем называть ее приращение (Δx = x – x0), dx = Δx – для независимой переменной. Определение: функция f (x) называется дифференцируемой в точке х0, если ее приращение в этой точке может быть представлено в виде: . , где Определение: дифференциалом функции f (x) называется главная линейная часть ее приращения, т.е. , (1) Положив в формуле (1) , получаем , окончательно соотношение (1) принимает вид: (2) При достаточно малых приращение функции приближенно равно ее дифференциалу . Пример Найти дифференциал функции в точке x=2, причем сделать это двумя способами: 1) выделяя главную, линейную относительно часть приращения функции ; 2) по формуле (2). Решение. 1) отсюда , 2) по формуле (2), Следовательно, получаем . Пример Вычислить дифференциал функции . Решение.
|