Вращение твердого тела вокруг неподвижной оси. Скорость и ускорения точек тела.

Вопрос

5 вопрос

Вопрос

Вращение твердого тела вокруг неподвижной оси. Скорость и ускорения точек тела.

Движение твердого тела, при котором две его точки О и О ' остаются неподвижными, называется вращательным движением вокруг неподвижной оси, а неподвижную прямую ОО ' называют осью вращения.
Пусть абсолютно твердое тело вращается вокруг неподвижной оси ОО ' (рис. 2.12).

Рис. 2.12

Проследим за некоторой точкой М этого твердого тела. За время dt точка М совершает элементарное перемещение d r.
При том же самом угле поворота d φ, другая точка, отстоящая от оси на большее или меньшее расстояние, совершает другое перемещение. Следовательно, ни само перемещение некоторой точки твердого тела, ни

первая производная , ни вторая производная не могут служить характеристикой движения всего твердого тела.
За это же время dt радиус-вектор , проведенный из точки 0 ' в точку М, повернется на угол d φ. На такой же угол повернется радиус-вектор любой другой точки (т.к. тело абсолютно твердое, в противном случае расстояние между точками должно измениться).
Угол поворота d φ характеризует перемещение всего тела за время dt.
Удобно ввести – вектор элементарного поворота тела, численно равный d φ и направленный вдоль оси вращения ОО ' так, чтобы, глядя вдоль вектора, мы видели вращение по часовой стрелке (направление вектора и направление вращения связаны «правилом буравчика»).
Элементарные повороты удовлетворяют обычному правилу сложения векторов:

Угловой скоростью называется вектор , численно равный первой производной от угла поворота по времени и направленный вдоль оси вращения в направлении ( и всегда направлены в одну сторону).

.

(2.4.1)

Если ω – const, то имеет место равномерное вращение тела вокруг неподвижной оси.

Пусть v – линейная скорость точки М. За промежуток времени dt точка М проходит путь dr = vdt. В то же время dr = Rd φ (dφ - центральный угол). Тогда, можно получить связь линейной скорости и угловой:

.

(2.4.2)

В векторной форме .
Вектор ортогонален к векторам и и направлен в ту же сторону, что и векторное произведение .

Наряду с угловой скоростью вращения используют понятия периода и частоты вращения.
Период Т – промежуток времени, в течение которого тело совершает полный оборот (т.е. поворот на угол φ = 2π).
Частота ν – число оборотов тела за 1 секунду.
При вращении с угловой скоростью ω имеем:

, , .

Введем вектор углового ускорения для характеристики неравномерного вращения тела:

.

(2.4.3)

Вектор направлен в ту же сторону, что и при ускоренном вращении , а направлен в противоположную сторону при замедленном вращении (рис. 2.13).

Рис. 2.13

Как и любая точка твердого тела, точка М имеет нормальную и тангенциальную составляющие ускорения. Выразим нормальное и тангенциальное ускорение точки М через угловую скорость и угловое ускорение:

	a τ = R ε;	(2.4.4)

Вопрос

При таком движении точки, лежащие в разных плоскостях на одном отрезке, перпендикулярном неподвижной плоскости (например M1M2) совершают одинаковые движения.

Рисунок 2.11

Рисунок 2.12

Отрезок M1M2 движется поступательно. Поэтому изучение плоскопараллельного движения сводится к изучению движения плоской фигуры в какой-то плоскости.

На рисунке 2.12 показано перемещение пластинки в плоской системе отсчета xOy из одного положения в другое. Такое перемещение можно осуществить двигая пластину поступательно с траекторией точки A с последующим поворотом на угол φ вокруг точки A1. Это же перемещение можно выполнить иначе.

Например, перемещая пластинку поступательно с траекторией точки B, с последующим поворотом вокруг B1 на угол φ. Траектории точек A и B различны, а угол поворота в обоих случаях одинаков.

Положение пластинки вполне определяется положением скрепленного с ней отрезка (например AB), закон движения которого можно задать в виде:

xA=xA(t), yA=yA(t), φ=φ(t).

Точка A в этом случае называется полюсом. Если принять за полюс точку B, то получим уравнения:

x B =xB(t), yB=yB(t), φ=φ(t)

Вопрос 9

Вопрос 10

Сложным называетсядвижениеточки (или тела), которое рассматривается одновременно в разных системах отсчета.

− движущаяся точка. Движение точки (или тела)по отношению к основной системе координат называется абсолютным движением. Движение точки (или тела)по отношению к подвижной системе координат называется относительным движением. Переносным называетсядвижение подвижной системы координат относительно основной. Абсолютная скорость и абсолютное ускорение точки − это скорость и ускорение точки в основной системе координат:

, .

Относительная скорость и относительное ускорение точки (обозначаются и )

¾ это скорость и ускорение точки в подвижной системе координат:

,

.

Переносная скорость и переносное ускорение точки(обозначаются и ) − это скорость и ускорение того места подвижной системы координат, с которым в данный момент совпадает движущаяся точка.

Теорема о сложении скоростей.

При сложном движении точки абсолютная скорость равна сумме ее относительной и переносной скоростей.

Вопрос 11

Date: 2016-07-05; view: 366; Нарушение авторских прав