Расчет разветвленной цепи синусоидального тока с одним источником электрической энергии.

На рис.24 изображена схема электрической цепи: – а) с поэлементным изображением; б) с комплексным изображением сопротивлений участков. Для этой схемы дано: U = 380 В; f = 50 Гц; j _u = 0°; R ₁ = 3 Ом; R ₂ = 7 Ом; R ₃ = 9 Ом; L ₁ = 10 мГн; L ₂ = 20 мГн; С ₃ = 800 мкФ.

а	б

Рис.24

Решение:

Вычисляем сопротивление реактивных элементов цепи на частоте
f = 50 Гц, w = 2p f = 314 1/с:

X_{L 1} = w L ₁ = 314×10×10^-3 = 3,14 Ом;

X_{L 2} = w L ₂ = 314×20×10^-3 = 6,28 Ом;

.

Находим комплексные сопротивления ветвей, Ом:

Z ₁ = R ₁ + jX_{L 1} = 3 + j3,14 = 4,34 e^{j 46°20¢};

;

;

Z ₂ = R ₂ + jX_{L 2} = 7 + j6,28 = 9,4 e^{j 41°50¢};

Z ₃ = R ₃ – jX_{С 3} = 9 + j4 = 9,85 e^{j 24°}.

Пользуясь правилами эквивалентных преобразований, находим сопротивление Z ₂₃ параллельного участка, Ом:

Определяем входное сопротивление цепи:

Z = Z ₁ + Z ₂₃ = 3 + j 3,14 + 5,65 + j 0,96 =

= 8,65 + j 4,1 = 9,57 e ^25°20¢, Ом.

;

Действующие значения токов:

I ₁ = 39,7 A; I ₂ = 24,2 А; I ₃ = 23,1 A.

Мгновенные значения токов:

;

i ₂ = I_m sin(w t + y _I) = 34sin(314 t - 57°30¢) A;

i ₃ = I_m sin(w t + y _I) = 32,7sin(314 t + 8°20¢) A.

Проверка правильности распределения токов в параллельных ветвях

а) по I-му закону Кирхгофа в символической форме:

; 35,9 - j 17 = 13 - j 20,4 + 22,8 + j 3,4;

35,9 - j 17 = 35,8 - j 17.

Расхождение:

б) по 2-му закону Кирхгофа - по 1234 символической форме (рис.24):

;

-380 + 39,7 e ^{- j 25°20¢}4,34 e^{j 46°20¢} + 24,2 e ^-57°30¢9,4 e^{j 41°50¢} =

= -380 + 172,3 e^{j 21°} + 227 e ^{- j 15°40¢} =

= -380 + 160,8 + j 61,8 + 219,1 - j 61,5 =

= -0,1 + j 0,3 = 0,316 e^{j 108°20¢}.

Определяем напряжение на параллельном участке цепи:

.

Действующее значение: U ₂₃ = 227,5 В.

Мгновенное значение:

.

= 35,9 - j 17 A;	I 1a = 35,9 A;	I 1p = -17 A;
= 13 - j 20,4 A;	= 13 A;	I 2p = -20,4 A;
= 22,8 + j 3,4 A;	= 22,8 A;	I 3p = 3,4 A.

Вычисляем напряжение на элементах цепи и строим топографическую – векторную диаграмму:

U_{R 1} = I ₁ R ₁ = 39,7×3 = 119 B;

U_{L 1} = I ₁ X_{L 1} = 39,7×3,14 = 125 B;

U_{R 2} = I ₂ R ₂ = 24,2×7 = 169 B;

U_{L 2} = I ₂ X_{L 2} = 24,2×6,28 = 152 B;

U_{R 3} = I ₃ R ₃ = 23,1×9= 208 B;

U_{C 3} = I ₃ X_{C 3} = 23,1×4 = 92 B.

Для построения векторной диаграммы задаем масштабы:

m_I = 5 А/см (l_{I 1} = 39,7/5 = 8 см; l_{I 2} = 24,2/5 = 4,8 см; l_{I 3} = 23,1/5 = 4,6 см);
m_u = 25 B/см.

На комплексной плоскости строим сначала векторы токов , и по фазным углам y _I и модулям, затем векторы активных напряжений откладываем совпадающими по фазе с векторами токов, векторы реактивных напряжений – перпендикулярно векторам токов с учетом направления: векторы под углом 90⁰ в сторону опережения вектора тока, векторы - отставания от вектора тока на угол 90⁰.

Рис.25

Мощность, потребляемая цепью:

P = 13643,8 Вт; Q = 6455,3 вар (индуктивный характер);

S = I ² Z = 39,7²×9,57 = 15083 B×A.