Полезное:
Как сделать разговор полезным и приятным
Как сделать объемную звезду своими руками
Как сделать то, что делать не хочется?
Как сделать погремушку
Как сделать так чтобы женщины сами знакомились с вами
Как сделать идею коммерческой
Как сделать хорошую растяжку ног?
Как сделать наш разум здоровым?
Как сделать, чтобы люди обманывали меньше
Вопрос 4. Как сделать так, чтобы вас уважали и ценили?
Как сделать лучше себе и другим людям
Как сделать свидание интересным?
Категории:
АрхитектураАстрономияБиологияГеографияГеологияИнформатикаИскусствоИсторияКулинарияКультураМаркетингМатематикаМедицинаМенеджментОхрана трудаПравоПроизводствоПсихологияРелигияСоциологияСпортТехникаФизикаФилософияХимияЭкологияЭкономикаЭлектроника
|
Комбинаторика. Бином НьютонаПерестановки. Факториал. Размещения. Сочетания. Бином Ньютона. Биномиальные коэффициенты. Треугольник Паскаля. Свойства биномиальных коэффициентов.
Общим термином «соединения» мы будем называть три вида комбинаций,составляемых из некоторого числа различных элементов, принадлежащиходному и тому же множеству (например, буквы алфавита, книги в библиотеке, машины на стоянке и т.д.). Перестановки. Возьмём n различных элементов: a 1, a 2, a 3, …, an. Будем переставлять их всеми возможными способами, сохраняя их количество и меняя лишь порядок их расположения. Каждая из полученных таким образом комбинаций называется перестановкой. Общее количество перестановок из n элементов обозначается Pn. Это число равно произведению всех целых чисел от 1 до n:
Символ n! (называется факториал) - сокращённая запись произведения: 1· 2 · 3 · … · (n – 1) · n.
П р и м е р. Найти число перестановок из трёх элементов: a, b, c. Р е ш е н и е. В соответствии с приведенной формулой: P 3 = 1 · 2 · 3 = 6. Размещения. Будем составлять группы из m различных элементов, взятых из множества, состоящего из n элементов, располагая эти m взятых элементов в различном порядке. Полученные комбинации называются размещениями из n элементов по m. Их общее количество обозначается: и равно произведению: П р и м е р. Найти число размещений из четырёх элементов a, b, c, d по два. Р е ш е н и е. В соответствии с формулой получим: Вот эти размещения: ab, ba, ac, ca, ad, da, bc, cb, bd, db, cd, dc. Сочетания. Будем составлять группы из m различных элементов, взятых из множества, состоящего из n элементов, не принимая во внимание порядок расположения этих m элементов. Тогда мы получим сочетания из nэлементов по m. Их общее количество обозначается и может быть вычислено по формуле: Из этой формулы ясно, что
Заметим, что можно составить только одно сочетание из n элементов по n,которое содержит все n элементов. Формула числа сочетаний даёт этозначение, если только принять, что 0! = 1,что является определением 0!. В соответствии с этим определением получим:
Общее число сочетаний можно вычислить, пользуясь и другим выражением:
П р и м е р. Найти число сочетаний из пяти элементов: a, b, c, d, e по три. Р е ш е н и е:
Эти сочетания: abc, abd, abe, acd, ace, ade, bcd, bce, bde, cde. Бином Ньютона. Это формула, представляющая выражение (a + b) n при положительном целом n в виде многочлена:
Заметим, что сумма показателей степеней для a и b постоянна и равнаn. П р и м е р 1. (См. формулу куба суммы двух чисел).
Числа называются биномиальными коэффициентами. Их можно вычислить, применяя только сложение, если пользоваться следующей схемой. В верхней строке пишем две единицы. Все последующие строки начинаются и заканчиваются единицей. Промежуточные числа в этих строках получаются суммированием соседних чисел из предыдущейстроки. Эта схема называется треугольником Паскаля:
Первая строка в этой таблице содержит биномиальные коэффициенты для n = 1; вторая - для n = 2; третья - для n = 3 и т.д. Поэтому, если необходимо, например, разложить выражение: (a + b)7, мы можем получить результат моментально, используя таблицу:
Свойства биномиальных коэффициентов. 1. Сумма коэффициентов разложения (a + b) n равна 2 n. Для доказательства достаточно положить a = b = 1. Тогда в правой частиразложения бинома Ньютона мы будем иметь сумму биномиальных коэффициентов, а слева:
2. Коэффициенты членов, равноудалённых от концов разложения, равны. Это свойство следует из соотношения:
3. Сумма коэффициентов чётных членов разложения равна сумме коэффициентов нечётных членов разложения; каждая из них равна
Для доказательства воспользуемся биномом: Здесь чётные члены имеют знак «+», а нечётные - «-». Так как в результате разложения получается 0, то следовательно, суммы их биномиальных коэффициентов равны между собой, поэтому каждая из них равна: что и требовалось доказать.
|