Расчет сложных цепей при помощи уравнений Кирхгофа

Задача 2. Рассчитать схему рис. 80, составив систему уравнений на основании законов Кирхгофа.

Рисунок 80 к задаче 2.

Исходные данные к задаче:

E ₁ = 60 В; E ₂ = 80 В; E ₃ = 70 В;

R ₁ = 20 Ом; R ₂ = 50 Ом; r ₀₃ = 5 Ом;

R ₄ = 65 Ом; R ₅ = 85 Ом.

Анализ и решение задачи 2

1. Определение необходимого числа уравнений.

В схеме рис.80 пять ветвей и для расчета токов в них надо составить пять уравнений. По первому закону Кирхгофа составляются уравнения для всех узлов, кроме одного (уравнение для него будет следствием предыдущих), по второму – для независимых контуров (в каждый последующий контур входит хотя бы одна ветвь, не вошедшая в ранее рассмотренные). Для данной схемы надо составить два уравнения по первому закону и три – по второму.

2. Составление и решение системы уравнений.

Для составления уравнений задаемся произвольно направлениями токов в ветвях и направлениями обхода контуров (рис. 80).

Уравнение для узла d: I ₁ + I ₃ - I ₄ = 0.

Уравнение для узла е: - I ₂ - I ₃ + I ₅ = 0.

Уравнение для контура bcd: I ₁ R ₁ + I ₄ R ₄ = E ₁.

Уравнение для контура abe: I ₂ R ₂ + I ₅ R ₅ = E ₂.

Уравнение для контура bde: I ₃ r ₀₃ + I ₄ R ₄ + I ₅ R ₅ = E ₃.

Подставив в уравнения численные значения величин, получим алгебраическую систему уравнений:

I ₁ + I ₃ - I ₄ = 0;

- I ₂ - I ₃ + I ₅ = 0;

20 I ₁ + 65 I ₄ = 60;

50 I ₂ + 85 I ₅ = 80;

5 I ₃ + 65 I ₄ + 85 I ₅ = 70.

Решение системы дает значения токов:

I ₁=1,093 А; I ₂=0,911 А; I ₃= –0,506 А; I ₄=0,587 А; I ₅=0,405 А.

Дополнительные вопросы к задаче 2

1.Что означает минус перед численным значением тока I ₃?

Знак «–» говорит о том, что реальное направление тока в данной ветви противоположно принятому в начале расчета.

2.В каких режимах работают элементы схемы, содержащие источники ЭДС?

В ветвях с E ₁ и E ₂ токи совпадают по направлению с ЭДС, т.е. данные элементы работают источниками, отдавая энергию в схему; в ветви с ЭДС E ₃ ток направлен против ЭДС, т.е. данный элемент работает потребителем (например, машина постоянного тока в режиме двигателя).

3.Как проверить правильность решения задачи?

Для проверки правильности расчета можно на основании законов Кирхгофа написать уравнения для узлов и контуров схемы, которые не использовались при составлении исходной системы. Независимой проверкой является уравнение баланса мощностей: сумма мощностей источников равна сумме мощностей, расходуемых в резистивных элементах схемы. Т.к. элемент схемы с ЭДС может работать как в режиме источника, так и в режиме потребителя, соответствующее слагаемое в левой части уравнения берется с плюсом, если Е и I совпадают по направлению (источник), и с минусом, если направления противоположны (потребитель).

Мощности элементов схемы с ЭДС:

E ₁ I ₁+ E ₂ I ₂ - E ₃ I ₃ = 60 * 1 * 1,093 + 80 * 0,911 - 70 * 0,506 = 104,04 Вт.

Мощности, расходуемые в резистивных элементах схемы:

I ₁² R ₁ + I ₂² R ₂ + I ₃² r ₀₃ + I ₄² R ₄+ I ₅² R ₅ = 1,093² * 20 + 0,911² * 50 + 0,506² * 5 + 0,587² * 65 + 0,405² * 85 = 103,01 Вт.

ΣEI=ΣP.

Баланс мощностей сошелся, следовательно, задача решена верно.