Площади поверхностей, образованных вращением

Дуги кривой вокруг оси Ох

а) Если кривая задана уравнением вида: , то

.

б) Если кривая задана параметрическими уравнениями: , причем , , то

,

где - значения параметра , соответствующие концам дуги.

в) Если кривая задана уравнением в полярных координатах , где и имеет непрерывную производную на , то

.

Рассмотрим примеры.

Пример 1. Найти площадь поверхности, образованной вращением полуокружности, расположенной выше оси Ох, вокруг нее.

Решение.

у   R   В А -R 0 R x

а) уравнение окружности , , , т. к. окружность расположена выше оси Ох, ;

.

б) Найти площадь той же поверхности, если кривая задана параметрически.

Решение.

Уравнение данной окружности, заданной в параметрической виде: , , найдем значения параметра, считая концами дуги точки , подставим абсциссы этих точек в уравнение для х: т. е. , тогда

Найдем аналогично :

Тогда по формуле:

в) Найти площадь той же поверхности, если кривая задана в полярной системе координат.

Решение. В полярной системе координат уравнение данной окружности имеет вид: , т. к. уравнение окружности в прямоугольных координатах , тогда по формулам перехода в полярную систему координат:

Так как , найдем площадь данной поверхности:

Задания для самостоятельной работы

I. Вычислить объемы тел, образованных вращением фигуры, ограниченной линиями:

Ответы:

1. где вокруг а) оси Ох; б) оси Оу.	а) (ед.3). б) (ед.3).
2. и осью Оу вокруг оси Оу.	(ед.3).
3. и биссектрисой I координатного угла вокруг оси Ох.	(ед.3).

II. Вычислить площади поверхностей, полученных вращением кривых вокруг оси Ох.

1. ;	(кв. ед.).
2. , ;	(кв. ед.).
3. вокруг полярной оси.	(кв. ед.).

Date: 2016-05-25; view: 873; Нарушение авторских прав