III. Приложения определенного интеграла

1. С помощью определенного интеграла можно вычислять площади плоских фигур, ограниченных кривыми. Напомним, что кривые могут быть заданы различными способами, т.е.

1) в прямоугольных декартовых координатах (в явном виде и параметрически);

2) в полярных координатах.

Рассмотрим случаи вычисления площадей плоских фигур в прямоугольных координатах.

а) если фигура представляет из себя криволинейную трапецию вида.

Рисунок 5

;

б) если криволинейная трапеция расположена ниже оси , т.е. тогда исходя из свойств определенного интеграла

Рисунок 6

.

В общем случае ;

в) если плоская фигура имеет сложную форму, т.е. прямые «вырождаются» в точки, то фигуру следует разбить на части так, чтобы можно было применить известные формулы.

Проиллюстрируем некоторые возможные варианты:

Рисунок 7	;
г)     Рисунок 8	;

д) если криволинейная трапеция ограничена прямыми и

, осью и непрерывной кривой , то

Рисунок 9

.

Рассмотрим примеры нахождения площади плоских фигур:

Пример 1. Найти площадь фигуры, ограниченной линиями:

Решение.

1 0 1 2 3 - 1 - 2 - 3

а) Построим графики данных функций: - прямая; - парабола; приведем ее уравнение к каноническому виду: ; ;

;

откуда координаты вершины , ветви вниз. Находим точки пересечения параболы с осью :

, , или , .

б) Чтобы найти площадь данной фигуры, разобьем ее на части. Для этого найдем координаты точек пересечения графиков, решив систему уравнений данных линий:

Тогда (кв. ед).

; (кв. ед.).

.

(кв. ед).

в) (кв. ед.)

Замечание. Площадь этой же фигуры можно вычислить более рациональным способом, применив формулу

Ответ: кв. ед.

Пример 2. Вычислить площадь фигуры, ограниченной кривой , прямой и осью Оу.

Решение.

1   0 1 -1 Рисунок 10

а) Построим графики данных функций;   - прямая, параллельная оси ;   - полукубическая парабола.

б) Для вычисления площади этой фигуры воспользуемся случаем, когда кривая задана функциональной зависимостью . Выразим через :

.

Тогда (кв. ед.).

Ответ: кв. ед.

Замечание. Если линия, ограничивающая криволинейную трапецию, задана параметрически, то

Пример 3. Вычислить площадь фигуры, ограниченной линиями: , прямой и осью .

Решение.

Построим графики данных функций. Так как одна из линий задана параметрически, то придавая параметру произвольные значения, составим таблицу значений функции.

-2 -1                 -8 -1             1   0 1 -1	Таким образом, считая найдем , подставим найденные выражения в формулу, предварительно вычислив пределы интегрирования по : (в нашем случае ). (в нашем случае ). Тогда , так как кв. ед.;

(кв. ед.).

кв. ед.

Ответ: кв. ед.

2. Вычисление площадей плоских фигур в случае, когда линии, их ограничивающие, заданы в полярной системе координат.

Если непрерывная кривая задана в полярных координатах уравнением , то площадь сектора АОВ вычисляется по формуле:

В     А     0 Рисунок 11

.

Пример 4. В полярной системе координат построить фигуру, ограниченную указанной линией, и вычислить ее площадь: .

Решение.

а) Составим таблицу значений задавая шаг для .

3,4 0,6   0 4 0,6   Рисунок 12 График этой функции – кардиоида.

3,4   0,6   0,6   3,4

б) Вычислим , т.к. изменяется от 0 до (см. рис. 12), т.к. фигура симметрична относительно Ох, где

Ответ: кв. ед.

Date: 2016-05-25; view: 422; Нарушение авторских прав