А) Вычисление длины дуги в прямоугольных координатах

А В     0 а в х   Рисунок 13

1) Если линия задана уравнением , то длина ее дуги АВ вычисляется по формуле:   .

Рассмотрим пример:

Вычислить длину дуги кривой, заданной уравнением от начала координат до точки .

Решение. Найдем производную функции , т. е.

;

т.к. О(0; 0), в нашем случае

2) Если уравнение кривой задано в параметрическом виде, т. е. , то длина дуги вычисляется по формуле:

.

где - значения параметра, соответствующие концам дуги.

Рассмотрим пример.

Найти длину дуги полукубической параболы, заданной параметрически между точками А (1; 1) и В (4; 8) (см. рис. 10).

Решение. Так как , в нашем случае , найдем значения параметра , соответствующие концам дуги.

Для этого абсциссы точек А и В подставляем в уравнение , тогда при нахождении нужно решить .

Так как точки расположены на кривой над осью , .

Аналогично получим уравнение , по тем же соображениям выбираем значение .

Тогда

(введем новую переменную находим пределы интегрирования для : ).

Ответ: .