Б) Вычисление длины дуги в полярных координатах

Если кривая АВ задана уравнением в полярных координатах , где , то .

Рассмотрим пример.

Вычислить дугу кардиоиды, заданной в полярной системе координат: , где (т.е. той части кривой, которая расположена выше оси ).

Решение.

Рассмотрим уже известную нам кривую (см. рис. 12). Применим формулу

, где , тогда

Задания для самостоятельной работы.

Приложения определенного интеграла

I. Вычислить площадь фигур, ограниченных линиями:

Ответы:

1.
2. и координатными осями.
3. и осью Оу.
4. - эллипс.
5. Одним витком спирали Архимеда .
6. - лемниската Бернулли.
7. и .
II. Найти длины дуг следующих кривых:
1. от до .	.
2. .	.
3. , .	.
4. от до .	.

Объем тела вращения

1) Если тело образовано вращением плоской фигуры вокруг оси Ох, то его объем равен

0 а в х   Рисунок 14

2) Если же тело образовано вращением плоской фигуры вокруг оси Оу, то его объем равен

у         0 x Рисунок 15

.

Рассмотрим пример:

Найти объемы тел, образованных вращением фигуры, ограниченной линиями: ; ; .

а) вокруг оси Ох; б) вокруг оси Оу;

Решение.

а) Изобразим тело, получающееся в результате вращения данной плоской фигуры вокруг Ох:

у 4     0 1 х   - 4	Ответ: куб.ед.
у В 4 С   х - 4 0 F 4	б) Изобразим тело, получающееся в результате вращения фигуры вокруг оси Оу

При вращении данной плоской фигуры вокруг оси Оу образуется тело с «вырезанным» круговым цилиндром, получающимся при вращении прямоугольника ОВСF вокруг Оу, причем он состоит из двух цилиндров с объемами . Найдем объем тела, полученного при вращении криволинейной трапеции АВСD вокруг Оу:

4 В С     А К Д   0 F Е х

Тогда (куб. ед.).

Ответ: куб. ед.