Кванттық механикадағы сызықтық гармониялық осциллятор

Сызықтық гармониялық осциллятор – квазисерпінді күштің әсерінен бірөлшемді қозғалыс жасайтын жүйе, классикалық және кванттық жүйелерді бейнелеу кезінде жиі қолданылатын модель болып табылады.

Классикалық гармониялық осцилляторлардың мысалдары – серіппелі, физикалық және математикалық маятниктер.

Гармониялық осцилляторлардың потенциалдық энергиясы мынаған тең:

. Мұндағы -осциллятор тербелісінің өзіндік жиілігі,

бөлшектің массасы. Классикалық осциллятор «потенциалдық шұңқырдың» координаталы шегінен шығып кете алмайды. Кванттық осциллятордың стационарлық күйі үшін Шредингер теңдеуі:

мұндағы осциллятордың толық энергиясы.

Осы теңдеу үшін энергияның өзіндік мәні:

Сондықтан, кванттық осциллятордың энергиясы квантталады (тек дискретті мәндерге ғана ие болуы мүмкін). Энергия деңгейлері -ға тең бірдей ара қашықтықпен орналасады.

Минималды энергиясы нөлдік тербелістердің энергиясы деп аталады.

Нөлдік тербелістердің энергиясының пайда болуы – типтік кванттық эффект – анықталмағандық қатынасының түзу салдары.

Бөлшектің импульсі мен оның анықталмағандығы 0-ге айналғандықтан, бөлшектер кез-келген формадағы шұңқырдың түбінде жатуы мүмкін емес, ал координатаның анықталмағандығы шексіздікке ұмтылады, бөлшектің «потенциалдық шұңқырға» келу шартына қарама-қарсы келеді.

Кванттық механикада сұрыптау ережесі деп кванттық сандардың өзгерісінде жинақталған шарттарды атайды.

Гармониялық осцилляторға көршілес деңгейшелердің арасындағы ауысулар ғана мүмкін болады, яғни сұрыптау ережелерін қанағаттандыратын ауысулар:

Соған сәйкес, гармониялық осциллятордың энергиясы мөлшерімен ғана ауысады және гармониялық осциллятор энергияны квантпен шығарады және жұтыады.

Кванттық осциллятор туралы есептің кванттық-механикалық шешімі облыс шегіндегі бөлшектерді табу ықтималдығы 0-ден өзгеше болатынын көрсетеді.

Суретте үшін соңғы мәнге ие кезіндегі осциллятордың кванттық тығыздығын табу ықтималдығы көрсетілген.