Реализация метода конечных элементов в одномерном случае

Используемые данные: - число узлов; - число элементов; координаты узлов – массив , ; элементная матрица размера ; элементный вектор правых частей , ; глобальная матрица жесткости размера ; вектор правых частей , ; вектор решения , ; - координаты начала и конца отрезка, на котором рассматривается уравнение; - граничное условие.

Алгоритм

1. Вычисляем координаты узлов:
Шаг сетки ;
Для ;

2. В цикле по элементам: Для

2.1 Формируем элементную матрицу .

2.2 Проводим процесс сборки – формируем глобальную матрицу жесткости , , , .

2.3 Формируем элементный вектор правых частей .

2.4 Проводим процесс сборки – формируем глобальный вектор правых частей , .

3. Вносим граничное условие в матрицу и вектор правых частей

3.1 ; ;

3.2 Для ,
;
;

4 Решаем систему .

5 Выводим результат.

Приведем решение краевой задачи

, .

с помощью|посредством| программного комплекса MathCad:

Сравним, значения точного и приближенного решений:

например, при имеем

Как видим, погрешность близка к 0,85 %. Для получения более точного решения необходимо использовать большее количество базисных функций.

Варианты индивидуальных заданий

№ 1. Решить нелинейную систему уравнений методом Ньютона с точностью .

1)

2)

3)

4)

5)

6)

7)

8)

9)

10)

11)

12)

13)

14)

15)

16)

17)

18)

19)

20)

21)

22)

23)

24)

25)

26)

27)

28)

29)

30)

№ 2, №3. Решить краевую задачу методом Галеркина и методом конечных элементов

четные варианты: , ,

нечетные варианты: , ,

где - номер варианта.