Полезное:
Как сделать разговор полезным и приятным
Как сделать объемную звезду своими руками
Как сделать то, что делать не хочется?
Как сделать погремушку
Как сделать так чтобы женщины сами знакомились с вами
Как сделать идею коммерческой
Как сделать хорошую растяжку ног?
Как сделать наш разум здоровым?
Как сделать, чтобы люди обманывали меньше
Вопрос 4. Как сделать так, чтобы вас уважали и ценили?
Как сделать лучше себе и другим людям
Как сделать свидание интересным?
Категории:
АрхитектураАстрономияБиологияГеографияГеологияИнформатикаИскусствоИсторияКулинарияКультураМаркетингМатематикаМедицинаМенеджментОхрана трудаПравоПроизводствоПсихологияРелигияСоциологияСпортТехникаФизикаФилософияХимияЭкологияЭкономикаЭлектроника
Линейные однородные уравнения
|
|
Одним из замечательных свойств линейных уравнений является то, что общее решение таких уравнений можно найти по их известным частным решениям.
Теорема. Если 
- линейно независимые частные решения уравнения
,
то 
есть общее решение этого уравнения (
-произвольные постоянные).
Примечание. Функции 
называются линейно независимыми в промежутке 
, если они не связаны никаким тождеством
,
где 
-какие-нибудь постоянные, не равные нулю одновременно.
Для случая двух функций это условие можно сформулировать и так: две функции 
и 
линейно независимы, если их отношение не является постоянной величиной:
.
Достаточным условием линейной независимости 
функций, непрерывных вместе со своими производными до 
-го порядка в промежутке 
, является то, что определитель Вронского (вронскиан) 
этих функций не равен нулю ни в одной точке промежутка , т.е.
.
Если данные функций являются частными решениями линейного однородного дифференциального уравнения -го порядка, то это условие (необращение в нуль) является не только достаточным, но и необходимым условием линейной независимости этих решений.
Вронскиан решений линейного однородного дифференциального уравнения -го порядка
связан с первым коэффициентом этого уравнения 
формулой Лиувилля-Остроградского:
Совокупность решений линейного однородного дифференциального уравнения -го порядка, определенных и линейно независимых в промежутке , называется фундаментальной системой решений этого уравнения.
Для линейного однородного дифференциального уравнения второго порядка
фундаментальная система состоит из двух линейно независимых решений и ; его общее решение находится по формуле
.
Если для такого уравнения известно одно частное решение , то второе его решение, линейно независимое с первым, можно найти по формуле (являющейся следствием формулы Лиувилля-Остроградского)
.
Это дает возможность интегрировать линейные однородные уравнения второго порядка, для которых известно одно частное решение, сразу, не прибегая к понижению их порядка.
Date: 2016-05-25; view: 463; Нарушение авторских прав