Полезное:
Как сделать разговор полезным и приятным
Как сделать объемную звезду своими руками
Как сделать то, что делать не хочется?
Как сделать погремушку
Как сделать так чтобы женщины сами знакомились с вами
Как сделать идею коммерческой
Как сделать хорошую растяжку ног?
Как сделать наш разум здоровым?
Как сделать, чтобы люди обманывали меньше
Вопрос 4. Как сделать так, чтобы вас уважали и ценили?
Как сделать лучше себе и другим людям
Как сделать свидание интересным?
Категории:
АрхитектураАстрономияБиологияГеографияГеологияИнформатикаИскусствоИсторияКулинарияКультураМаркетингМатематикаМедицинаМенеджментОхрана трудаПравоПроизводствоПсихологияРелигияСоциологияСпортТехникаФизикаФилософияХимияЭкологияЭкономикаЭлектроника
|
Приближенное решение систем нелинейных уравнений 41.1 Метод Ньютона 4 1.2 Реализация метода Ньютона в|посредством| MathCad 7 Дифференциальные уравнения высших порядков 10 2.1. Основные понятия 10 2.2. Линейные однородные уравнения 11 2.3. Линейные однородные уравнения с постоянными коэффициентами 12 2.4. Линейные неоднородные уравнения 13 Проекционные методы решения краевых задач для обыкновенных дифференциальных уравнений 17 3.1 Метод Галеркина 18 3.2 Реализация метода Галеркина в|посредством| MathCad 19 3.3 Основные понятия метода конечных элементов 22 3.4 Одномерный элемент с кусочно-линейными базисными функциями 24 3.5 Пример 26 3.6 Реализация метода конечных элементов в одномерном случае 30 Варианты индивидуальных заданий 37 Список рекомендованной литературы 39 Приближенное решение систем нелинейных уравнений Метод Ньютона Рассмотрим нелинейную систему уравнений (1.1) с действительными левыми частями. Запишем короче систему (1.1). Совокупность аргументов можно рассматривать как - мерный вектор . Аналогично совокупность функций представляет собой также - мерный вектор (вектор-функцию) . Поэтому система (1.1) кратко записывается так: . (1.1/ ) Для решения системы (1.1/ ) будем пользоваться методом последовательных приближений. Предположим, что найдено -е приближение одного из изолированных корней векторного уравнения (1.1/ ). Тогда точный корень уравнения (1.1/ ) можно представить в виде , (1.2) где - поправка (погрешность корня). Подставляя выражение (1.2) в уравнение (1.1/ ), будем иметь: . (1.3) Предполагая, что функция непрерывно дифференцируема в некоторой области, содержащей и , разложим левую часть уравнения (1.3) по степеням малого вектора , ограничиваясь линейными членами, . (1.4) или, в развернутом виде, (1.4/ ) Из формул (1.4) и (1.4/ ) вытекает, что под производной следует понимать матрицу Якоби системы функций относительно переменных , т.е. , или в краткой записи . Система (1.4/) представляет собой линейную систему относительно поправок с матрицей , поэтому формула (1.4) может быть записана в следующем виде: . Отсюда, предполагая, что матрица - неособенная, получим: . Следовательно, , (1.5) где за можно взять грубое значение искомого корня. При практическом применении метода Ньютона для решения нелинейных систем вычисления по формуле (1.5) прекращают, когда . (1.6)
Итак, исходя из вышеизложенного, запишем алгоритм метода Ньютона: 1. Определяем начальное приближение . 2. Уточняем значение корня по формуле (1.5). 3. Если условие (1.6) выполняется, то задача решена и - корни системы нелинейных уравнений, иначе переходим к п. 2.
Будем считать, что функции нелинейной системы (1.1/ ) и матрица их производных уже определены, тогда блок-схема алгоритма решения этой системы имеет вид:
1.2. Реализация метода Ньютона в|посредством| MathCad Пример. Решить нелинейную систему уравнений методом Ньютона с точностью . Приведем решение нелинейной системы уравнений с помощью|посредством| программного комплекса MathCad: Номер первой строки (столбца) матрицы или первой компоненты вектора хранится в MathCad в переменной ORIGIN. По умолчанию в MathCad координаты векторов, столбцы и строки матрицы нумеруются начиная с 0 (ORIGIN:=0). Поскольку в математической записи чаще используется нумерация с 1, здесь и в дальнейшем перед началом работы с матрицами будем определять значение переменной ORIGIN равным 1, т.е. будем выполнять команду ORIGIN:=1. Далее определяем функции F1 и F2 нелинейной системы и находим графическое решение системы. Процесс отыскания корней системы при помощи метода Ньютона организован в виде функции, входные параметры которой – вектор начальных приближений x0 и точность вычислений (), где за x0 можно взять грубое значение искомого корня – приблизительные координаты точки пересечения графиков функций: – грубое значение первого корня, затем – грубое значение второго корня.
|